Петр Путенихин - Диаграммы Пенроуза – что это такое?

рисунке рис.12d‑g также условно изображены традиционный гиперкуб – тессеракт, синусоида и секундомер, который аналитически, в уравнениях представляет собой обычную окружность.

Рис.12. Фигуры на диаграммах Крускала

Очень интересно на диаграмме Пенроуза выглядит наипростейшая геометрическая фигура – круг. На рис.13 он изображен в виде стилизованного секундомера, который приобрел довольно забавные очертания, деформируясь в некоторое подобие квадрата.

Рис.13. Диаграмма Пенроуза для вращающейся в круге стрелки. Анимация: http://samlib.ru/img/p/putenihin_p_w/diapen242/fig13.gif

Трудно представить, но на рисунке действительно изображен круг с вращающейся внутри стрелкой. Особенно забавно картина выглядит на анимации. В процессе движения по окружности стрелка постоянно изгибается – образуя горб то по ходу движения, то против него. И только в четырех точках своей траектории стрелка превращается в прямую линию – на светоподобных траекториях.

Как и в случае диаграммы с бесконечными горизонтами, 2М‑диаграмма так же является просто координатной системой, ничем принципиально не отличающейся от декартовой. Поэтому и здесь мы вполне можем рассматривать в качестве координат не время и радиус, а обычные декартовы координаты x-y. Однако в этом случае возникает интересный вопрос. На таких 2М‑диаграммах Пенроуза имеется обнаруженная ранее право-левая анизотропия, полярность времени [4]. Интересно выяснить, каким образом она проявится в этом координатном случае? Каждому значению x, согласно анизотропии диаграммы, должны соответствовать два разных значения y. Для уравнений "прямых" линий всё, вроде бы, останется по-прежнему – величина зависит от скорости изменения функции. Но как быть с единичной точкой, об истории которой ничего не известно?

Допустим, нам нужно изобразить два отрезка с одинаковыми координатами концов. Очевидно, что точки отрезка будут изображаться последовательно, а это уже движение, имеющее и направление и скорость. Вот его и можно использовать. Однако это не обязательно. Если использовать оба значения параметра анизотропии m, то будут изображены два симметричных, зеркальных объекта. Эти объекты зеркальны относительно оси m = 0, а их диаграммные координаты однозначно определены соответствующими параметрами анизотропии m и n.

Таким образом, имея функции преобразования, можно построить любую геометрическую фигуру. Давайте построим "секундомер", такой же, как на диаграммах с бесконечными горизонтами рис.13.

Построение "секундомера" можно произвести симметрично как с пересечением двух изображений друг с другом, так и без пересечения, когда каждое из изображений будет полностью находиться в одной из областей – выше или ниже оси m = 0. Мы построим только одно полноразмерное изображение каждого из выбранных объектов для одного из значений знака m – рис.14.

На рисунке изображены три объекта – две окружности, внутри которых вращаются стрелки – указатели, наподобие секундомеров, и группа из концентрических окружностей. Отметим со всей определенностью, что на рисунке изображены только окружности (и пара стрелок – указателей). Левая, каплевидная синяя окружность имеет радиус R = 0.6, а центр её расположен в точке с координатами x = 3, y = 0.1. Длина указателя или радиус окружности, которую описывает его конец, равны 0.53. Параметр преобразования m имеет положительный знак. Все геометрические параметры фигур, их размеры выбраны такими, чтобы они занимали достаточно большую область рисунка.

Рис.14. Секундомеры на координатной 2М‑диаграмме. Анимация: http://samlib.ru/img/p/putenihin_p_w/diapen242/fig14.gif

Обратим внимание, что диаграмма явно "чувствует" знак параметра, поскольку в данном случае указатель секундомера на анимации движется в правильном направлении, по часовой стрелке. Однако, если мы принудительно поменяем знак параметра, то картинка просто перевернётся, зеркально отразившись от оси x. В этом случае --">