Андрей Андреевич Болибрух - Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

дополнительные сведения, чтобы её сформулировать.

Эквивалентность множеств

Рассмотрим следующий пример. В школе проходит вечер танцев. Как определить, кого больше на этом вечере: девочек или мальчиков?

Можно, конечно, пересчитать тех и других и сравнить два полученных числа. Но гораздо проще дать ответ, когда оркестр заиграет вальс и все танцующие разобьются на пары. Тогда, если все присутствующие танцуют, значит, каждому нашлась пара, т. е. мальчиков и девочек одинаковое количество. Если же остались только мальчики, значит, мальчиков больше, и наоборот.

Этот способ, иногда более естественный, чем непосредственный пересчёт, называется принципом разбиения на пары, или принципом взаимно однозначного соответствия.

- 5 -

Рассмотрим теперь совокупность объектов произвольной природы — множество. Объекты, входящие в множество, называются его элементами. Если элемент х входит в множество X, это обозначают так: х ∈ X. Если множество Х1 содержится в множестве Х2, т. е. все элементы множества Х1 являются также элементами Х2, то говорят, что Х1 — подмножество Х2, и кратко записывают так: Х1 ⊂ Х2.

Множество конечно, если в нём конечное число элементов. Множества могут быть как конечными (например, множество учеников в классе), так и бесконечными (например, N {в оригинале ℕ - не уверен, что символ отображают все читалки } — множество всех натуральных чисел {1,2,3,...}). Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Пусть X и Y — два множества. Говорят, что между этими множествами установлено взаимно однозначное соответствие, если все элементы этих двух множеств разбиты на пары вида (х,у), где х ∈ X, у ∈ Y, причём каждый элемент из X и каждый элемент из Y участвует ровно в одной паре.

Пример, когда все девочки и мальчики на танцевальном вечере разбиваются на пары, и есть пример взаимно однозначного соответствия между множеством девочек и множеством мальчиков.

Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными или равномощными. Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда в них одинаковое количество элементов. Поэтому естественно считать, что если одно бесконечное множество эквивалентно другому, то в нём «столько же» элементов. Однако, опираясь на такое определение эквивалентности, можно получить весьма неожиданные свойства бесконечных множеств.

Бесконечные множества

Рассмотрим любое конечное множество и любое его собственное (непустое и не совпадающее с ним самим) подмножество. Тогда элементов в подмножестве меньше, чем в самом множестве, т. е. часть меньше целого.

Обладают ли бесконечные множества таким свойством? И может ли иметь смысл утверждение, что в одном бесконечном

- 6 -

 множестве «меньше» элементов, чем в другом, тоже бесконечном? Ведь про два бесконечных множества мы можем пока только сказать, эквивалентны они или нет. А существуют ли вообще неэквивалентные бесконечные множества?

Далее мы последовательно ответим на все эти вопросы. А для начала приведём забавную фантастическую историю из книги Н. Я. Виленкина «Рассказы о множествах».* Действие происходит в далёком будущем, когда жители разных галактик могут встречаться друг с другом. Поэтому для всех путешествующих по космосу построена огромная гостиница, протянувшаяся через несколько галактик.

В этой гостинице бесконечно много номеров (комнат), но, как и положено, все комнаты пронумерованы, и для любого натурального числа n есть комната с этим номером.

Однажды в этой гостинице проходил съезд космозоологов, в котором участвовали представители всех галактик. Так как галактик тоже бесконечное множество, все места в гостинице оказались занятыми. Но в это время к директору гостиницы приехал его друг и попросил поселить его в эту гостиницу.

«После некоторых размышлений директор обратился к администратору и сказал:

— Поселите его в №1.

— Куда же я дену жильца этого номера? — удивлённо спросил администратор.

— А его переселите в №2. Жильца же из №2 отправьте в №3, из №3 — в №4 и т. д.»

Вообще, пусть постоялец, живущий в номере k, переедет в номер k + 1, как это показано на следующем рисунке:

Тогда у каждого снова будет свой номер, а №1 --">