Иннокентий Васильевич Семушин , Юлия Владимировна Цыганова , Валерия Вадимовна Воронина , Владимир Васильевич Угаров , Анастасия Игоревна Афанасова , Илья Николаевич Куличенко - Вычислительная линейная алгебра в проектах на C#

14-07-00665.

Acknowledgment
Acknowledgment is given by the authors to the Russian Federation for Basic
Research for partly funding this work by research grant № 14-07-00665.

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Введение . . . . . . . . . . .
Учебные цели студента .
Оценка работы студента .
Кодекс студента . . . . .
Краткое описание курса .
I

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .

ОСНОВАНИЯ

17
17
18
23
25
27

1

Проекто-ориентированная методика . . . . . . . . . . . . .
1.1
Метод проектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Фронтально-состязательный подход (ФСП) . . . . . . . . .
1.3
Оценивание качества академических проектов . . . . . . . .
1.4
Положения о выполнении и защите проектов . . . . . . . .
1.5
Заключение по разделу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
29
32
39
47
51

2

Элементы программирования на C# . . . . . . . . . . . . .
2.1
Синтаксис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Сервис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Заключение по разделу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52
52
55
70
83

II
3

СТАНДАРТНЫЙ КУРС
Проект № 1 «Стандартные алгоритмы LU -разложения»
3.1
Алгоритмы метода Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Выбор ведущего элемента . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Компактные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Алгоритмы метода Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Вычисление обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
Плохо обусловленные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7
Задание на лабораторный проект № 1 . . . . . . . . . . . .
3.8
Варианты задания на лабораторный проект № 1 . . . . . . .
3.9
Методические рекомендации для проекта № 1 . . . . . . . .

85
87
87
90
94
97
101
107
109
112
114

Оглавление

3.10
3.11

Тестовые задачи для проекта № 1 . . . . . . . . . . . . . . . 129
Заключение по разделу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4

Проект № 2 «Разложения Холесского» . . . . . . . . . . .135
4.1
Положительно определённые матрицы . . . . . . . . . . . . 135
4.2
Квадратные корни из P и алгоритмы Холесского . . . . . . 136
4.3
Программная реализация алгоритмов
Холесского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4
Разложение Холесского: ijk-формы . . . . . . . . . . . . . 141
4.5
Разложение Холесского: алгоритмы окаймления . . . . . . 143
4.6
Особенности хранения ПО-матрицы P . . . . . . . . . . . . 146
4.7
Задание на лабораторный проект № 2 . . . . . . . . . . . . 147
4.8
Варианты задания на лабораторный проект № 2 . . . . . . . 151
4.9
Методические рекомендации для проекта № 2 . . . . . . . . 151
4.10 Тестовые задачи для проекта № 2 . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.11 Заключение по разделу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5

Проект № 3 «Ортогональные преобразования» . . . . . .166
5.1
Ортогональные матрицы и приложения . . . . . . . . . . . 166
5.2
Линейная задача наименьших квадратов . . . . . . . . . . . 168
5.3
Ортогональные матрицы и наименьшие квадраты . . . . . . 169
5.4
Преобразование Хаусхолдера . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.5
Шаг триангуляризации матрицы . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.6
Решение треугольной системы . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.7
Преобразование Гивенса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.8
Варианты заполнения матрицы R . . . . . . . . . . . . . . 185
5.9
Правосторонние ортогональные преобразования . . . . . . . 186
5.10 Двусторонние ортогональные преобразования . . . . . . . . 187
5.11 Ортогонализация Грама–Шмидта . . . . . . . . . . . . . . 190
5.12 Алгоритмы ортогонализации Грама–Шмидта . . . . . . . . 192
5.13 Решение систем после ортогонализации . . . . . . . . . . . 196
5.14 Обращение матриц после ортогонализации . . . . . . . . . 196
5.15 Задание на лабораторный проект № 3 . . . . . . . . . . . . 196
5.16 Варианты задания на лабораторный проект № 3 . . . . . . . 198
5.17 Методические рекомендации для проекта № 3 . . . . . . . . 199
5.18 Тестовые задачи для проекта № 3 . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.19 Заключение по разделу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

10

Оглавление

6

III

Пример программной реализации проекта
6.1
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Класс с реализацией алгоритмов . . . . . .
6.3
Генерация матриц . . . . . . . . . . . . . .
6.4
Создание пользовательского интерфейса
и подключение ранее созданных библиотек
6.5
Завершающее тестирование . . . . . . . . .
6.6
Заключение по разделу 6 . . . . . . . . . .
ПОВЫШЕННЫЙ КУРС

№1
. . .
. . .
. . .

. . . . . .221
. . . . . . 221
. . . . . . 223
. . . . . . 248

. . . . . . . . . 266
. . . . . . . . . 306
. . . . . . . . . 308
315

7

Проект № 4 --">