Жак Арсак - Программирование игр и головоломок

исключением единственного дополнительного символа в конце цепочки, то именно по этой-то причине и должен быть остановлен пробег цепочки а. Перемещаясь и не обнаруживая больше символов, не являющихся пробелами, мы получаем сообщение, что цепочки совпадают, а это неверно. Ясно, что программисты не принимали во внимание и не изучали именно этот случай. И никаких оснований поступать так нет. В этом и состоит преимущество логических рассуждений о тексте программы по сравнению с проверкой ее правильности с помощью тестирования.

Ваша программа должна сохранять симметричную роль обеих цепочек. Не начинайте проверять результат пробега цепочки а, не пробежав цепочки b, и изучайте обе цепочки разом.

Возьмем общую ситуацию:

а пройдена вплоть до i включительно;

b пройдена вплоть до j включительно;

обе части совпадают с точностью до пробелов.

ВЫПОЛНЯТЬ

  продвинуть i на следующий символ в а, не являющийся пробелом;

  продвинуть j на следующий символ в b, не являющийся пробелом;

  ЕСЛИ таких нет в а И таких нет в b ТО

  r := ИСТИНА;

    КОНЧЕНО КОНЕЦ_ЕСЛИ;

  ЕСЛИ таких нет в a ИЛИ таких нет в b ТО

  r := ЛОЖЬ;

    КОНЧЕНО КОНЕЦ_ЕСЛИ;

  ЕСЛИ a[i] ≠ b[j] ТО r := ЛОЖЬ;

  КОНЧЕНО КОНЕЦ_ЕСЛИ;

ВЕРНУТЬСЯ

Эта программа совершенно симметрична относительно а и b…

Головоломка 33.

Нужно работать по модулю n. Удобнее всего пронумеровать элементы вектора от 0 до n − 1. Все элементы спускаются вниз на m по модулю n. Элемент, который переходит в 0, имеет номер m; элемент, который переходит в m, имеет номер 2m по модулю n; элемент, который переходит в 2m, имеет номер 3m по модулю n… Таким образом, мы получаем цепочку чисел, кратных m по модулю n. Весь вопрос в том, чтобы узнать, порождает ли последовательность чисел, кратных m по модулю n, последовательность всех целых от 0 до n − 1.

Это так, если m и n взаимно просты. В противном случае пусть с наибольший общий делитель m и n:

m = m'с, n = n'c,

n' * m = n' * m' * с = m' * n = 0 по модулю n.

Эта цепочка возвращается в 0 за n' = n/с операций. При этом пробегается не весь вектор, а только его элементы, сравнимые с 0 по модулю с.

Беря в качестве исходных элементов различных циклов последовательно целые числа от 0 до c − 1, вы разместите все элементы вектора, причем каждый из них будет перемещаться в точности один раз…

Головоломка 34.

Рассмотрите более общую задачу, что заставит вас открыть одно из этих знаменитых «преобразований программы», столь полезных, когда желательно улучшить уже существующие программы. Обозначим через t и u два условия, а через a и b — две последовательности инструкций. Вот простой цикл:

ПОКА t ВЫПОЛНЯТЬ

  ЕСЛИ u ТО a ИНАЧЕ b

КОНЕЦ_ЕСЛИ

ВЕРНУТЬСЯ

Последовательность операций следующая:

— проверяется условие t,

— если оно истинно, то проверяется u,

— если u истинно, то выполняется a, и все возобновляется.

Допустим, что условия t и u таковы, что я имею возможность проверить u, даже если проверка условия t дает значение ЛОЖЬ^[29]. Тогда, пока условия t и u истинны, в цикле выполняется а.

Вот другая последовательность, которая может встретиться:

— проверяется условие t,

— если оно истинно, то проверяется u,

— если u ложно, то выполняется b, и все возобновляется.

Таким образом, мы приходим к форме, для которой можно доказать, что она всегда эквивалентна исходной (с точностью до ограничения, что должна существовать возможность вычисления и даже в случае, когда t ложно).

ПОКА t ВЫПОЛНЯТЬ

  ПОКА t И u ВЫПОЛНЯТЬ а ВЕРНУТЬСЯ

  ПОКА t И НЕ u ВЫПОЛНЯТЬ b ВЕРНУТЬСЯ

ВЕРНУТЬСЯ

Мы перепишем программу для определения равнин, чтобы придать ей форму ПОКА, заключенного в скобки ЕСЛИ:

i := 1; р : = 0;

ПОКА i ≤ n ВЫПОЛНЯТЬ

  ЕСЛИ a[i] = a[i − р]

    ТО x := a[i]; р := р + 1; i := i + 1

    ИНАЧЕ i := i + 1

  КОНЕЦ_ЕСЛИ

ВЕРНУТЬСЯ

Мы обнаруживаем, что в нашем случае мы не можем объединить два условия с помощью операции И: если i не удовлетворяет условию, что i не больше n, то нельзя поставить вопрос относительно a[i]. Обрисуем трудность подходящим образом:

— нужно либо добавить в таблицу а поле, которое содержит какую-нибудь несущественную для нас величину (мы к этой величине не обращаемся);

— либо нужно допустить, что операция И не коммутативна. Для вычисления t и u мы вычисляем t, и если результат есть ЛОЖЬ, то все кончено и притом с результатом ЛОЖЬ. В противном случае результат есть значение условия u.

Тогда можно использовать наше преобразование:

i := 1; р := 0;

ПОКА i ≤ n ВЫПОЛНЯТЬ

  ПОКА --">