Е И Бутиков , Александр Александрович Быков , Александр Сергеевич Кондратьев - Физика в примерах и задачах

𝒗 может быть направлена по-разному. Из рис. 1.3 видно, что эта скорость будет наименьшей в том случае, когда скорость лодки относительно берега 𝑽 направлена именно по прямой 𝐴𝐵, а скорость 𝒗 перпендикулярна этой прямой. Этот случай показан на рис. 1.4. Из подобия изображённых прямоугольных треугольников находим

𝑣min

𝑢

=

𝑙

√𝑙²+𝑠²

.

(2)

Отметим, что если мы хотим попасть в точку 𝐵, двигаясь с минимальной возможной скоростью 𝑣min, то нам придётся направить нос лодки перпендикулярно выбранной траектории лодки 𝐴𝐵. Лодку будет сносить течением, и в результате она будет боком приближаться к намеченной цели!

Возвращаясь к рис. 1.3, мы видим, что для получения ответа на первый вопрос задачи нам пришлось проанализировать треугольник, соответствующий закону сложения скоростей (1). В этом треугольнике одна из сторон (𝒖) была задана по модулю и направлению. Направление другой стороны (𝑽) мы выбрали, исходя из условия задачи - требования попасть в точку 𝐵. Тогда для получения минимального значения модуля третьей стороны (𝒗) её нужно было направить перпендикулярно выбранному направлению 𝑽

Рис. 1.5. Выбор направления для переправы с минимальным сносом

Аналогичные рассуждения можно использовать и для ответа на второй вопрос задачи. Вектор скорости течения 𝒖 и в этом случае задан по модулю и направлению. Что касается второго слагаемого в правой части выражения (1) - скорости лодки относительно воды 𝒗, то заранее известен только её модуль 𝑣, а направление может быть любым. Если начало вектора 𝒗 совместить с концом вектора 𝒖 (рис. 1.5), то конец вектора 𝒗 может лежать в любой точке окружности радиуса 𝑣. Из рис. 1.5б сразу видно, что снос лодки течением неизбежен, если 𝑣<𝑢 Если же скорость лодки 𝑣 больше скорости 𝑢, то при должном выборе направления 𝒗 можно добиться того, что сноса вообще не будет (рис. 1.5а). Более того, при 𝑣>𝑢 можно, переправляясь через реку, причалить к противоположному берегу в любом месте выше по течению.

Анализ рис. 1.5б показывает, что при 𝑣<𝑢 снос будет минимальным, если скорость лодки относительно берегов 𝑽 направлена по касательной к окружности радиуса 𝑣 Сравнивая изображённые на этом рисунке подобные треугольники, находим минимальный снос лодки 𝑠min:

𝑠

min

=

𝑙√𝑢²-𝑣²

𝑣

,

𝑣<𝑢

.

(3)

Посмотрите ещё раз на рис. 1.5б и сообразите, куда следует направлять нос лодки при переправе, чтобы её снос течением был минимальным. ▲

2. Как опередить автобус?

Человек находится в поле на расстоянии 𝑙 от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автобуса как можно дальше от него? Скорость автобуса 𝑢, скорость человека 𝑣.

△ Интерес, разумеется, представляет только случай 𝑣<𝑢, так как при 𝑣>𝑢 человек может убежать от автобуса на любое расстояние.

Рис. 2.1. Бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути

Чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если при этом он даже и успеет выбежать на шоссе впереди автобуса, то всё равно расстояние до автобуса не будет максимальным из возможных. В самом деле, если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым небольшим углом α к перпендикуляру (рис. 2.1), то путь человека до шоссе увеличится на величину Δ𝑙, но зато он выбежит на дорогу на расстоянии 𝑑 левее точки 𝐵. Если выбрать угол α достаточно малым, то расстояние 𝑑 можно сделать больше расстояния Δ𝑙 в любое число раз. Поэтому, несмотря на то что скорость человека 𝑣 меньше скорости автобуса 𝑢, он окажется на шоссе на большем расстоянии от

--">