Леонард Сасскинд , Арт Фридман - Теоретический минимум. Специальная теория относительности и классическая теория поля

где интервал между
событиями a и b пространственноподобный. Линия, соединяющая
эти две точки, образует с осью x угол меньше 45 градусов.
В пространственноподобных интервалах больше пространства,
чем времени. Они также обладают тем свойством, что нельзя
найти такую систему отсчета, в которой эти два события произошли бы в одном и том же месте. Вместо этого вы можете
найти систему отсчета, в которой оба они происходят в точности
в одно и то же время, хоть и в разных местах. Для этого нужно
найти систему, в которой ось x′ проходит через обе точки.2 Но
здесь есть один большой сюрприз. В системе (t, x) на рис. 3.1
событие a происходит до события b. Однако если мы перейдем
1

2

Не забывайте, что, когда мы говорим о четырехмерном пространствевремени — трех пространственных координатах и одной временной, —
символ
обозначает все три направления в пространстве. В этом
контексте
выражает сумму их квадратов, которую мы обычно
записываем как (Δ x)2 + (Δy)2 + (Δz)2.
Вполне подошла бы и система, в которой ось x′ параллельна этой соединительной линии.

Релятивистские законы движения

103

с помощью преобразований Лоренца к системе (t′, x′) на той
же диаграмме, то событие b произойдет раньше события a. Их
временная последовательность действительно изменится. Из
этого ясно, что именно мы понимаем под относительностью
одновременности: последовательность событий, то есть то, что
одно из них произошло раньше или позже другого, не является
инвариантной, если эти события разделены пространственноподобным интервалом.

Световой луч

Рис. 3.1. Пространственноподобный интервал

3.1.2. Времениподобные интервалы
Частицы с ненулевой массой движутся вдоль времениподобных
траекторий. Чтобы в этом разобраться, рассмотрим пример на
рис. 3.2. Если проследовать по пути из точки a в точку b, то
каждый малый отрезок этого пути будет времениподобным
интервалом. Утверждение, что частица движется по времениподобной траектории, эквивалентно утверждению, что ее скорость
никогда не достигает скорости света.
Когда интервал времениподобен, вы всегда можете найти систему
отсчета, в которой данные два события происходят в одном и том
же месте — там, где они имеют одинаковые пространственные

104

Лекция 3

координаты, но происходят в разное время. Фактически все, что
вам необходимо сделать, — это выбрать систему отсчета, в которой прямая, соединяющая две данные точки, покоится, систему,
в которой ось t′ совпадает с прямой, соединяющей эти две точки.1

Световой луч

Рис. 3.2. Времениподобные траектории

3.2. Подробнее о 4-скорости
Ранее, в лекции 2, мы ввели некоторые определения и обозначения для 4-скорости. Теперь пора эту идею развить. Компоненты
4-скорости dXµ = dτ аналогичны компонентам dXi = dt скорости
в обычных координатах, за некоторыми исключениями:
• у 4-скорости — сюрприз! — четыре, а не три компоненты;
• 4-скорость обозначает скорость изменений относительно
собственного времени, а не относительно времени в системе
координат.
Как и должно быть в случае правильно определенного 4-вектора, компоненты 4-скорости преобразуются тем же образом, как
и прототип всех 4-векторов
1

Вполне подошла бы и система, в которой ось t′ параллельна линии, соединяющей точки.

Релятивистские законы движения

105

(t, x, y, z)
или
(X0, X1, X2, X3)
в нашей новой системе обозначений. Другими словами, эти
компоненты преобразуются в соответствии с преобразованиями
Лоренца. По аналогии с обычными скоростями, 4-скорости ассоциируются с малыми или бесконечно малыми отрезками вдоль
пути, или мировой линии, в пространстве-времени. У каждого
малого отрезка имеется ассоциированный с ним вектор 4-скорости. Мы будем записывать обычную трехмерную скорость как

или

а 4-скорость как
(3.2).
Какова связь между 4-скоростью и обычной скоростью? Обычная нерелятивистская скорость, разумеется, имеет только три
компоненты. Это заставляет ожидать чего-то необычного от
четвертой компоненты (которую мы обозначили как нулевую).
Начнем разбираться с U 0, записав ее в виде

Вспомним теперь, что X0 — это всего лишь другой способ записи t, такой, что первый множитель в правой части равен просто 1.
Тогда можно записать:
(3.3)

106

Лекция 3

или

Следующий шаг — это вспомнить, что

, и поэтому

или
(3.4)
где — обычный 3-вектор --">