Жайдары Калтаевна Абельдина - Введение в виртуальную физику

Хизм,

(2)

где Хизм - значение величины X, полученное из эксперимента. Величину
Δ X называют абсолютной погрешностью результата.
Чтобы оценка измеряемой величины X была полной, недостаточно
знать только < X >, надо указать доверительный интервал, в пределах
которого находится искомая величина, и доверительную вероятность
(надежность) попадания истинного значения искомой величины в пределы этого интервала. Интервал значений от ( - Δ Х) до ( + Δ Х)
называется доверительным интервалом.
В теории погрешностей доказывают, что чаще всего случайный разброс значений измеряемой величины подчиняется закону нормального
распределения Гаусса.
Графически функция распределения Гаусса f(х) представляет собой
симметричную кривую с максимумом в точке х = < X >. Площадь под
кривой численно равна вероятности попадания Р измеренной вели чины
f(х)

в определенный интервал. Поэтому для всех кривых площади под ними
не зависят от качества измерений и равны 1, т.е.


 f ( x)dx  1.

(3)

0

Это условие определяет нормировку достоверного события. Чем точнее
применяемый метод наблюдения, тем острее пик кривой.
10

Аналитически закон распределения Гаусса для n —> ∞ запишется
как

( x  X )2
1
f ( x) 
exp(
),
2 2
2 

(4)

где f(х) - функция плотности вероятности. Она показывает с какой плотностью вероятности располагаются измеренные значения около .
Здесь
Δ х = (< X > - х)
отклонение от истинного значения.
σ2 - дисперсия распределения. В случае большого числа измерений (n —
> ∞ ) дисперсия σ, входящая в закон распределения (4), оказывается равной среднеквадратичной ошибке измерения
n

 

(x

i

i 1

 x )2

(5)
n
Величина σ характеризует степень влияния случайных погрешностей на
результаты измерения; чем меньше σ. тем точнее проведено измерение.
Если площадь, заключенная под кривой Гаусса между вертикальными линиями ± σ, равна 68% от всей площади, то среднеквадратичная
ошибка называется стандартной ошибкой. За стандартный принимают
интервал [± Sх], где
n

Sx 

(x 
i 1

i

x )2

n(n  1)

.

(6)

Результат измерения в данном случае записывают в виде:
х = ± t(P, n)·Sх.

(7)

Здесь t(P, n) - коэффициенты Стьюдента, зависящие от заданной надежности Р и числа измерений n. Запись (7) означает, что истинное значение измеряемой величины X находится в интервале [ - t(P, n)·Sх;
+ t(P, n)·Sх] с доверительной вероятностью (надежностью) Р. Величину
ΔХ = t(P, n)·Sх
(8)
называют доверительной случайной погрешностью результата измерения. Аппарат математической статистики позволяет вычислить коэффициенты t(P, n) для любых Р и n. Результаты таких вычислений табулированы.
11

Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента
Число измерений n
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Надежность Р
0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.95

0.98

0.999

1,00
0,82
0,77
0,74
0,73
0,72
0,71
0,71
0,70
0,67

1,38
1,06
0,98
0,94
0,92
0,90
0,90
0,90
0,88
0,84

2,0
1,3
1,3
1,.2
1,2
1,1
1,1
1,1
1,1
1,0

3,1
1,9
1,6
1,5
1,5
1,4
1,4
1,4
1,4
1,3

6,3
2,9
2,4
2,1
2,0
1,9
1,9
1,9
1,8
1,6

12,7
4,3
3,2
2,8
2,6
2,4
2,4
2,3
2,3
2,0

31,8
7,0
4,5
3,7
3,4
3,1
3,0
2,9
2,8
2,3

636,6
31,6
12,9
8,6
6,9
6,0
5,4
5,0
4,8
3,3

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность
x
X 
,
(9)
x
Обратную ей величину


1

X

,

называют точностью измерений.
Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, иногда решают и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного
прибора и заданной величине надежности определяют необходимое число измерений в серии. Опыт показывает, что в студенческой лаборатории число измерений физических величин обычно равно 3-5.
3. Оценка точности результатов при техническом
измерении и использовании табличных данных
Если систематическая погрешность, определяемая, например, классом точности прибора, заметно превышает случайную, то измерение достаточно проводить один раз.
Пусть в результате измерений получаются одинаковые результаты
или случайная погрешность меньше той, которую дает прибор. В подобных случаях за абсолютную погрешность принимается собственная
погрешность прибора, т. к. проведение дальнейших измерений в этих
условиях бессмысленно. Результат измерений записывают в виде --">