Роберт Валерьевич Майер - Решение физических задач в электронных таблицах Excel: учебное пособие

Определите траектории движения зайца и волка, время и место встречи.
18.3. Изучите движение шарика в поле тяжести по поверхности, задаваемой уравнением z = 0,25( x 2 + y 2 ) 2 − 0,5( x 2 + y 2 ) и представляющей замкнутую канавку вокруг оси Oz . Постройте траекторию шарика
при различных начальных координатах и скорости.
Потенциальная энергия шарика массой m , движущегося по рассматриваемой поверхности, равна:

U ( x, y ) = mg (0,25( x 2 + y 2 ) 2 − 0,5( x 2 + y 2 )) .
Горизонтальные проекции силы реакции, действующей на шарик:

Fx = −∂U / ∂x = − mg ( x 3 + y 2 x − x),

Fy = −∂U / ∂y = − mg ( y 3 + x 2 y − y ) .

Самостоятельно рассчитайте траекторию в плоскости XOY , используя решения задачи 5.8.
18.4. Из пушки вылетает снаряд с известной скоростью

υ 0 . Опре-

делите угол α , под которым необходимо произвести выстрел, чтобы
снаряд попал в цель с координатами ( x' , y ' ) . Сила сопротивления воз-

r

r

духа, действующая на снаряд, пропорциональна его скорости FC = − rυ .
Используется метод стрельбы. Запишем второй закон Ньютона

r
r
r
mg − rυ = ma в конечных разностях (см. задачу 5.1):
a tx+1 = − rυ xt / m ,

a ty+1 = − g − rυ ty / m ,

υ xt +1 = υ xt + a tx+1∆τ ,

xt +1 = xt + υ xt +1∆τ ,

υ ty+1 = υ ty + a ty+1∆τ ,

y t +1 = y t + υ ty+1∆τ .

Самостоятельно напишите программу, рассчитывающую траекторию движения снаряда при заданной начальной скорости и произвольном угле α между стволом орудия и горизонталью. Если снаряд не
поразил цель, то угол α увеличивают на величину шага ∆α и повторяют расчет, затем еще раз и еще раз до тех пор, пока снаряд не попадет в цель. Искомое значение угла в радианах выводится на экран
компьютера. Задача может иметь два решения, одно или не иметь
решения.

143

Майер Р. В. Решение физических задач в электронных таблицах Excel

18.5. Напряжение изменяется по закону u (τ ) =| 10 sin ωτ | . Разложите импульсы напряжения в ряд Фурье. Восстановите сигнал по 3, 7, 15 и
25 первым гармоникам и получите график u ' (τ ) .
По теореме Фурье периодическая функция u (τ ) с периодом T
представима в виде суммы постоянной составляющей a0 и бесконечного числа гармонических колебаний (гармоник), с частотами кратными основной частоте ω = 2π / T (частоты ω , 2ω , 3ω , …):
∞

u ' (τ ) = a0 + ∑ (an cos nωτ + bn sin nωτ ) , где
n =1

1T
2T
2T
a0 = ∫ u (τ )dτ , an = ∫ u (τ ) cos(nωτ )dτ , bn = ∫ u (τ ) sin(nωτ ) dτ .
T0
T0
T0
Используется программа 18.2, результаты разложения исходной
функции u (t ) =| 10 sin(ωτ ) | в ряд Фурье и ее восстановления представлены на рис. 18.2.

Рис. 18.2. Гармонический анализ и синтез функции u (τ ) =| 10 sin(ω ⋅ τ ) |
Программа 18.2
Private
Ch_garm
w = 2 *
For i =
t = i *
U0 = U0
For n =
aa = 0:
For i =

Sub CommandButton1_Click()
= 25: Pi = 3.1415926: dt = 2 * Pi / 1000: Period = 2 * Pi
Pi / Period: 'Deffnn U(t) = Abs(10 * Sin(w * t))
1 To 1000
dt: U0 = U0 + Abs(10 * Sin(w * t)) * dt: Next i
/ Period: Cells(1, 5) = U0
1 To Ch_garm
bb = 0
1 To 1000

144

Майер Р. В. Решение физических задач в электронных таблицах Excel

t = i * dt: U = Abs(10 * Sin(w * t))
aa = aa + U * Cos(n * w * t) * dt
Next i: a = 2 * aa / Period
For i = 1 To 1000
w = 2 * Pi / Period: U = Abs(10 * Sin(w * t))
'{If t>Period/2 then U:=0 else U:=10;}
t = i * dt: bb = bb + U * Sin(n * w * t) * dt: Next i
b = 2 * bb / Period: Cells(n, 1) = a: Cells(n, 2) = b
Next n
End Sub
Private Sub CommandButton2_Click()
Ch_garm = 25: Pi = 3.1415926
dt = 2 * Pi / 1000: Period = 2 * Pi
w = 2 * Pi / Period: U0 = Cells(1, 5)
For i = 1 To 500
t = i * dt * 10: UV = U0
For n = 1 To Ch_garm
a = Cells(n, 1): b = Cells(n, 2)
UV = UV + a * Cos(n * w * t) + b * Sin(n * w * t)
Next n: Cells(i, 3) = t: Cells(i, 4) = UV: Next i
End Sub

18.6. Цепь переброшена через невесомый блок так, что с одной
стороны свисает 19 м, а с другой 20 метров цепи (рис. 18.3.1). Как будет
двигаться цепь, если ее отпустить? Постройте графики зависимости ускорения, координаты и скорости конца цепи B от времени.
Все точки цепи движутся с одинаковым по модулю ускорением,
которое можно найти из второго закона Ньютона:

(m1 + m2 )a = (m2 − m1 ) g , a =

m2 − m1
L −L
g = 2 1g.
m1 + m2
L1 + L2

Допустим, при τ = 0 координата точки B (правого конца цепи) x = 0 .
Ее скорость и координата в моменты времени ti = i ⋅ ∆τ равны:

υ t +1 = υ t + a t +1∆τ ,

x t +1 = x t + υ t +1∆τ .

Длина левой части цепи уменьшается, а правой части – увеличивается: L1t +1 = L1t − υ t +1∆τ , Lt2+1 = Lt2 + υ t +1∆τ . Так продолжается до тех пор,
пока L1 не уменьшится до 0. Ускорение цепи возрастает от 0 до

g = 9,81м/c 2 , когда она полностью соскочила с блока (рис. 18.3.2).

145

Майер Р. В. Решение физических задач в электронных таблицах Excel

Рис. 18.3. Движение цепи, переброшенной через неподвижный блок
Программа 18.3
Private Sub CommandButton1_Click()
L1 = 19: L2 = 20: dt = 0.01
While t < 7
i = i + 1: t = i * dt
a = 9.81 * (L2 - L1) / (L1 + L2)
v = v + a * dt: x = x + v * dt
If L1 > 0 Then
L1 = L1 - v * dt: L2 = L2 + v * dt
End If
If i Mod 10 = 0 Then
k = i / --">