Надежда Анатольевна Шихова - Задачи с экономическим содержанием

попадаются сложные вычисления, и важно не обсчи­
таться.
Пример 10. Корней сделал вклад 1 536 000 р. под 12,5%
годовых 1 июля 2016 года. Это значит, что начиная с 2017 г.,
каждый год 1 июля банк увеличивает сумму на счете на 12,5 %.
Сколько денег будет на счете у Корнея 2 июля 2019 года?
Решение.
П рикидка. Если бы 12,5% начислялись на первоначаль­
ную сумму вклада, то всего вклад бы увеличился на
12,5 • 3 = 37,5% — это чуть больше — . Имеет смысл исполь-

3

зовать такое приближение, когда платежных периодов не­
много, а проценты небольшие. Треть от полутора м иллио­
нов — это полм иллиона; значит, вклад увеличится
несколько больше, чем на полмиллиона и станет несколько
больше двух миллионов.
Обозначать здесь мы ничего не будем; это простая зада­
ча, она решается в лоб без уравнений. Мы уже говорили, что
увеличить сумму на 12,5% это все равно, что умножить её
на 1,125. Достаточно сделать это три раза подряд (попробуй
считать без калькулятора):
1 536 000 • 1,125 = 1 728 000 — на счете 2 июля 2017 года.
1 728 000 • 1,125 = 1 944 000 — на счете 2 июля 2018 года.
1 944 000 • 1,125 = 2 187 000 — на счете 2 июля 2019 года.
Проверка. Это значение подтверждается прикидкой —
получилось несколько больше двух миллионов.
18

О т вет . 2 187 000 р.А
этом примере гл авная проблема —вы числить, ведь
три р аза ум н о ж ать столбиком четы рехзначны е числа —
ош ибкоопасное дело, велик риск обсчитаться; а проверять
и и ск ать у себя ош ибку очень сложно.
Ч тобы оптим изировать вы числения, прим еняем прием
«обы кновенное чудо» — переход от десятичны х дробей
к обыкновенны м. Зам етим , что 12,5% от величины — это —

1

9

величины , 0,125 = — , а 1,125 = — .
----------ч

8

8

8

1): 2) х J П ри м ен и м прием « Р азд еляй и ум нож ай»:
работая с обы кновенны ми дробями, сначала сокращ аем все
что мож но, — то есть делим и только потом умнож аем — это
позволит работать с меньш ими числам и и реж е ош ибаться в
счете:
1 536 000 9
1) 1 536 000 = 192 0 0 0 -9 = 1 728 000.
8
8
1 728 000-9
2) 1 728 000 ■= 216 000 -9 = 1 944 000.
8
8
1 944 000 -9
3
1 944 000 • = 243 000 • 9 = 2 187 000.
8
8
Вместо того, чтобы ум нож ать четы рехзначны е числа,
здесь ум нож али трехзначны е на однозначные. Кроме того,
здесь д ел и л и на однозначное число, но в этом действии
ош ибки бываю т реж е.
Ещ е один полезны й прием — отлож и на завтра то,
что н ео б я за те л ь н о д ел ать сегодн я. В п р а к ти ч е с к и х
си туац и ях правило «Отложи на потом» плохо работает, а в
учебны х — очень даж е хорош о, там данны е подбираются
т а к , чтобы вы чи слен ия упрощ ались, и м ож ет случиться
т а к , что счет станет прощ е. М ожет и не случиться — но ты
ведь и ничего не потеряеш ь.
Чтобы отлож ить на потом, не будем реш ать по действиям,
а запиш ем все нуж ны е действия в одном вы раж ении:
1 536 000 ■
19

Такая запись имеет два преимущества: 1) удобно делать
прикидку; 2) удобно планировать вычисления. Еще одна
прикидка (никогда не жалей времени на прикидку
результата в задачах, где сложный счет):
'9 Л3
729
7
1 536 000 • — * 1,5 млн • — — и 1,5 млн • — = 2,1 млн.
.оу
о
1
5
( 1): 2) х ] План точных вычислений совершенно
стандартный: сначала разделить все, что разделится надело,
и только потом умножать. Это позволит работать с числами
поменьше:
1536 000-9-9-9
1 536 000
8 - 8-8
192 000 9-9-9 24 000-9-9-9 _
8
8-8
=3 000-9-9-9 = 27 000-81 = 2 187 000.
С таким порядком счета умножение в столбик понадобит­
ся только в последнем действии, да и то это будет умножение
двузначного числа на двузначное. Писать меньше, считать
меньше, ошибок тоже меньше.
Рассмотрим обратную задачу.
Пример 11. Известно, что под 12,5% годовых на счет по­
ложили некоторую сумму, в результате за три года накопи­
лось 5 103 000 р. Сколько денег было на счете первоначаль­
но?
Начало решения. Представим себе решение по действи­
ям. Чтобы узнать, сколько денег положили на счет, при­
шлось бы делить столбиком 5 1 0 3 0 0 0 :1 ,1 2 5 .И потом повто­
рить дважды. Даже пытаться не будем. Лучше обозначим
первоначальный вклад X. Тогда по условию
X - f | J = 5 1 0 3 000
И ЛИ

X = 5103000-|^|j .
Задание. Заверши решение. Какие приемы рационально­
го счета пригодились для построения этого уравнения? Ка20

кие еще пригодятся для его решения? Сделай прикидку,
сколько примерно получится:
X к 5 млн •

512
729 ’

а потом сосчитай точно.
2.2. Базовая модель начисления процентов
Обобщим предыдущие две задачи и построим для них мо­
дель начисления процентов. В других задачах --">