журнал «Информатика и образование» - Информатика и образование 2010 №08

ïëîñêîñòè, ò. å.
ÌÀ2 + ÌÂ2 = ÌÑ2 (ðèñ. 8).
Ïðèâåäåì êîìïüþòåðíûé âàðèàíò ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Àëãîðèòì åå ðåøåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ýëåìåíòàðíîìó ïåðåáîðó âñåõ òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
100
110
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
260
270
280
290
300

Ðèñ. 8. Ðèñóíîê
CLS : SCREEN 12
ê çàäà÷å 4
INPUT X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3
LOCATE Y3 / 15, X3 / 8: PRINT "C"
LOCATE Y1 / 15, X1 / 8: PRINT "A"
LOCATE Y2 / 15, X2 / 8: PRINT "B"
PSET (X1, Y1), 15: PSET (X2, Y2), 15: PSET (X3, Y3), 15
FOR X = 1 TO 600
FOR Y = 1 TO 400
MC2 = (X
X3) ^ 2 + (Y
Y3) ^ 2
MA2 = (X
X1) ^ 2 + (Y
Y1) ^ 2
MB2 = (X
X2) ^ 2 + (Y
Y2) ^ 2
SUMM2 = MA2 + MB2
IF ABS(MC2
SUMM2) < 10 THEN PSET (X, Y), 14
NEXT Y: NEXT X
PSET (X1, Y1), 15: PSET (X2, Y2), 15: PSET (X3, Y3), 15
LOCATE Y3 / 15, X3 / 8: PRINT "C"
LOCATE Y1 / 15, X1 / 8: PRINT "A"
LOCATE Y2 / 15, X2 / 8: PRINT "B"
END

à)

á)

Ðèñ. 9. Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 4

www.infojournal.ru

26

Íà ðèñ. 9,à è 9,á ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðè ðàçíûõ
çíà÷åíèÿõ äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè ñ÷åòà ïðè ñëåäóþùèõ êîîðäèíàòàõ òî÷åê À, Â
è Ñ ñîîòâåòñòâåííî:
X1 = 251 : X2 = 184 : X3 = 152 : Y1 = 300 : Y2 = 234 : Y3 = 300

Ïðîáåëû îêðóæíîñòè (ðèñ. 9,à) ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â
òî÷êàõ öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêè ñ òî÷íîñòüþ äî ïèêñåëÿ, à îêðóæíîñòü, êàê èçâåñòíî, íå ïðîõîäèò â êàæäîé ñâîåé òî÷êå ÷åðåç óçëîâûå òî÷êè ðåøåòêè.
Ðàññìîòðèì òåïåðü àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è.
Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû òî÷êè A è B èìåëè êîîðäèíàòû (–a; 0)
è (a; 0) (ðèñ. 8). Êîîðäèíàòû òî÷êè C â ýòîé ñèñòåìå îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç
c è d.
Ïóñòü òî÷êà M(x; y) ïðèíàäëåæèò èñêîìîìó ìíîæåñòâó. Òîãäà
ÌÀ2 + ÌÂ2 = ÌÑ2,
èëè
(x + a)2 + y2 + (x – a)2 + y2 = (x – c)2 + (y – d)2.
Äàëåå, óïðîñòèâ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì:
x2 + y2 + 2cx + 2dy = c2 d2 – 2a2,
èëè
(x + c)2 + (y + d)2 = 2c2 + 2d2 – 2a2.
Èòàê, êîîðäèíàòû òî÷êè M îáÿçàíû óäîâëåòâîðèòü ïîëó÷åííîìó óðàâíåíèþ.
Âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè êîîðäèíàòû òî÷êè M óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó
óðàâíåíèþ, òî äëÿ òî÷êè M âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå çàäà÷è, ò. å. òî÷êà M ïðèíàäëåæèò èñêîìîìó ìíîæåñòâó.
Èññëåäóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå. Åñëè òî÷êà C íàõîäèòñÿ äàëüøå îò ñåðåäèíû
îòðåçêà AB, ÷åì òî÷êè A è B , òî ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü ðàäèóñà
R=

2c2 + 2d2 − 2c2

ñ öåíòðîì â òî÷êå, ñèììåòðè÷íîé òî÷êå Ñ îòíîñèòåëüíî îòðåçêà ÀÂ. Åñëè òî÷êà Ñ îò
ñåðåäèíû îòðåçêà À íàõîäèòñÿ íà òàêîì æå ðàññòîÿíèè, ÷òî è òî÷êè À è Â, òî
èñêîìûì ìíîæåñòâîì ÿâëÿåòñÿ òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå Ñ îòíîñèòåëüíî ñåðåäèíû îòðåçêà ÀÂ. Åñëè æå òî÷êà Ñ ðàñïîëîæåíà áëèæå ê ñåðåäèíå îòðåçêà ÀÂ, ÷åì
òî÷êè À è Â, òî ïîëó÷àåì ïóñòîå ìíîæåñòâî. Î÷åâèäíî, âñå ýòè ðåçóëüòàòû íå ìîãóò
áûòü ïîëó÷åíû ïðè ïîìîùè êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììû.
Çàäà÷à 5.
Çåíèòêà ìîæåò ñòðåëÿòü ïîä ðàçíûìè óãëàìè ê ãîðèçîíòó, îò 0 äî 180°. Íàéòè
ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, äîñòèæèìûõ ñíàðÿäîì (ãðàíèöó äîñòèæèìûõ öåëåé) [1].
Âàðèàíò ïðîãðàììû ðåøåíèÿ çàäà÷è (ôðàãìåíò ðåøåíèÿ ïðîãðàììû ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 10):
10
20
20
40
50

CLS : INPUT "ВВЕДИТЕ ЧИСЛО ТОЧЕК ТРАЕКТОРИИ N="; N
INPUT "Введите начальную скорость снаряда ( --">