журнал «Информатика и образование» - Информатика и образование 2011 №06

r)

Ýïèòðîõîèäà
óêîðî÷åííàÿ (h < r)

Ãèïîòðîõîèäà
óêîðî÷åííàÿ (h < r)

Òðîõîèäàëüíàÿ ðîçà
(h = r + R)

Òðîõîèäàëüíàÿ ðîçà
(h = r + R)

r — ðàäèóñ ïîäâèæíîé (ïðîèçâîäÿùåé) îêðóæíîñòè
R — ðàäèóñ íåïîäâèæíîé (íàïðàâëÿþùåé) îêðóæíîñòè
h — ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì ðàñïîëàãàåòñÿ âû÷åð÷èâàþùàÿ òî÷êà îòíîñèòåëüíî öåíòðà îêðóæíîñòè

www.infojournal.ru

44

1. Íàïðàâëÿþùàÿ ïîäâèæíîé îêðóæíîñòè — ïðÿìàÿ ëèíèÿ
1.1. Îáûêíîâåííàÿ öèêëîèäà
Îáûêíîâåííàÿ öèêëîèäà — ýòî
ïëîñêàÿ êðèâàÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ òðàåêòîðèåé òî÷êè, ëåæàùåé íà îêðóæíîñòè, êàòÿùåéñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ïî
ïðÿìîé ëèíèè (ïî îñè OX).  èñõîäíîì ïîëîæåíèè âû÷åð÷èâàþùàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò
(ðèñ. 1).  ðåçóëüòàòå ïîëíîãî îáîðîòà îêðóæíîñòè ïîëó÷àåòñÿ àðêà.

Ðèñ. 1

Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ îáûêíîâåííîé öèêëîèäû:
x = r · t – r · sin (t),
y = r – r · cos (t),
ãäå –∞ < t < +∞ — óãîë ïîâîðîòà ïîäâèæíîé îêðóæíîñòè (óãîë êà÷åíèÿ).
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ òî÷å÷íîé ìîäåëè îáûêíîâåííîé öèêëîèäû.
Ä à í î:
r — ðàäèóñ ïîäâèæíîé îêðóæíîñòè;
t — ãåíåðèðóþùèé ïàðàìåòð (ðàä);
∆t — øàã èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà (ðàä), ÷àñòîòà âûâîäà òî÷åê íà ýêðàí.
Ï î ñ ò ð î è ò ü: îáûêíîâåííóþ öèêëîèäó êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê.
à ð à í è ÷ í û å ó ñ ë î â è ÿ:
r > 0,
–∞ < t < +∞,
∆t > 0.
Ì å ò î ä ï î ñ ò ð î å í è ÿ:
1) ââåñòè çíà÷åíèå r ñ êëàâèàòóðû;
2) îïðåäåëèòü íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà t è çíà÷åíèå øàãà ∆t;
3) âû÷èñëèòü x è y ïî ôîðìóëàì:
x = r · t – r · sin(t),
y = r – r · cos(t) (òèï — âåùåñòâåííûé);
4) âûâåñòè òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (x, y), ó÷èòûâàÿ îñîáåííîñòè ñèñòåìû êîîðäèíàò äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ðåæèìà è êîîðäèíàòû öåíòðà ñèñòåìû êîîðäèíàò ïîëüçîâàòåëÿ, íàïðèìåð, (320, 240): êîîðäèíàòû î÷åðåäíîé òî÷êè öèêëîèäû îïðåäåëÿþòñÿ êàê
(320 + x, 240 – y) (x è y ïðåäâàðèòåëüíî íåîáõîäèìî îêðóãëèòü äî çíà÷åíèé öåëîãî
òèïà);
5) ïîâòîðèòü ï. 3 è 4 äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà t.
Ï ð î ã ð à ì ì à:
Uses Crt, Graph;
Var
dr, dm: Integer;
t, dt, x, y, r: Real;
ch: Char;
Begin
Clrscr;
{Очистка экрана}
Write('r='); Read(r);{Ввод радиуса подвижной окружности}
{Инициализация графического режима}
dr:=Vga; dm:=VgaHi; InitGraph(dr, dm,'');
t:=–4*pi;
{Начальное значение параметра t}
dt:=0.001;
{Шаг изменения значения параметра t}
While t r, òî êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ óäëèíåííîé öèêëîèäîé.
 àëãîðèòìå ïîñòðîåíèÿ òî÷å÷íîé ìîäåëè òðîõîèäû èñõîäíûìè äàííûìè, ââîäèìûìè ñ êëàâèàòóðû, ÿâëÿþòñÿ r è h (ï. 1 àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ). Ôîðìóëû äëÿ
îïðåäåëåíèÿ x è y çàïèñûâàþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
òðîõîèäû (ï. 3 àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ).
Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû âûïîëíåíèÿ ïðîãðàììû äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ r è h.
Îáûêíîâåííàÿ öèêëîèäà
Y

Óäëèíåííàÿ öèêëîèäà

Óêîðî÷åííàÿ öèêëîèäà

Y

X

Y

X

X

Ðèñ. 2

2. Íàïðàâëÿþùàÿ ïîäâèæíîé îêðóæíîñòè — îêðóæíîñòü (O; R)
2.1. Ýïèöèêëîèäà
Ýïèöèêëîèäà (îò ãðå÷. epi — íà, íàä è kuklos — îêðóæíîñòü, êðóã) — ýòî ïëîñêàÿ êðèâàÿ, îáðàçóåìàÿ ôèêñèðîâàííîé (âû÷åð÷èâàþùåé) òî÷êîé îêðóæíîñòè (O1;
r), êàòÿùåéñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ïî âíåøíåé ñòîðîíå äðóãîé îêðóæíîñòè (O; R).
Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíû: íåïîäâèæíàÿ îêðóæíîñòü (O; R), ïîäâèæíàÿ îêðóæíîñòü (O1; r), Ì — âû÷åð÷èâàþùàÿ òî÷êà (À — åå èñõîäíîå ïîëîæåíèå), t — óãîë
ïîâîðîòà ïîäâèæíîé îêðóæíîñòè, ÀÌ — ÷àñòü ýïèöèêëîèäû.

Ðèñ. 3

www.infojournal.ru

46

Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýïèöèêëîèäû:
x = (R + m • R) • cos (m • t) – m • R • cos (t + m • t),
y = (R + m • R) • sin (m • t) – m • R • sin (t + m • t),
r
ãäå m =
— ïàðàìåòð, íàçûâàåìûé ìîäóëåì.
R
Ôîðìà ýïèöèêëîèäû îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ìîäóëÿ m: åñëè m — ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òî ýïèöèêëîèäà áóäåò çàìêíóòîé êðèâîé; åñëè m — èððàöèîíàëüíîå
÷èñëî, òî ýïèöèêëîèäà áóäåò íåçàìêíóòîé êðèâîé, ñîñòîÿùåé èç áåñ÷èñëåííîãî êîëè÷åñòâà âåòâåé. Ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî m ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå íåñîêðàòèp
ìîé äðîáè
, è äëÿ òîãî, ÷òîáû ýïèöèêëîèäà ñòàëà çàìêíóòîé êðèâîé, ïîäâèæíàÿ
q
îêðóæíîñòü äîëæíà ñäåëàòü q ïîëíûõ îáîðîòîâ.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ òî÷å÷íîé ìîäåëè ýïèöèêëîèäû.
Ä à í î:
R — ðàäèóñ íåïîäâèæíîé îêðóæíîñòè;
r — ðàäèóñ ïîäâèæíîé îêðóæíîñòè;
t — ãåíåðèðóþùèé ïàðàìåòð (ðàä);
∆t — øàã èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà (ðàä), ÷àñòîòà âûâîäà òî÷åê íà ýêðàí.
Ï î ñ ò ð î è ò ü: ýïèöèêëîèäó êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê.
à ð à í è ÷ í û å ó ñ ë î â è ÿ:
R > 0, r > 0,
0 ≤ t < 2π • q,
∆t > 0.
Ì å ò î ä ï î ñ ò ð î å í è ÿ:
1) ââåñòè çíà÷åíèÿ R è r ñ êëàâèàòóðû;
2) îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ìîäóëÿ m;
3) îïðåäåëèòü q = R / a, ãäå a — íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë R è r;
4) îïðåäåëèòü íà÷àëüíîå --">