Илья Тарасов - Руководство по программированию на Форте

[Картинка № 4]"> Исторически трансцендентные функции появились как результат решения дифференциального уравнения второго порядка. Развитие механики привело к необходимости описания движения тел в поле тяготения Земли (свободного падения и механических колебаний). Поскольку закон всемирного тяготения позволяет определить ускорение, т.е. вторую производную от координаты, уравнение движения в общем случае будет представлять собой дифференциальное уравнение второго порядка. Если это уравнение имеет больше одного ненулевого члена, то его решением будет являться трансцендентная функция. Существует две функции, удовлетворяющих такому уравнению – sin(x) и e^x. Обе эти функции бесконечно дифференцируемы и не могут быть получены путем обычных арифметических вычислений.

Дифференциальные уравнения второго порядка описывают множество процессов, в числе которых движение зарядов в электростатическом поле, электромагнитные колебания, волновые процессы и многое другое. Наличие мощного математического аппарата делает такой способ описания очень удобным, а следствием использования этого подхода является необходимость использования в результирующих формулах трансцендентных функций.

Достаточным набором для реализации практически всего многообразия трансцендентных функций являются: синус, экспонента, арксинус и логарифм (базовые трансцендентные функции и обратные к ним). Сюда же можно добавить степенную функцию – возведение числа в дробную степень.

Серьезным препятствием для вычисления этих функций является отсутствие в цифровой электронике процессов, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка. Булева алгебра, лежащая в основе логических операций, позволяет реализовывать только базовые арифметические действия. Однако задача упрощается тем, что представление вещественных чисел имеет ограниченную точность, а следовательно, можно использовать приближенные формулы для вычисления трансцендентных функций, обеспечив совпадение тех разрядов результата, которые представлены в записи вещественного числа.

Простейшим способом приближенных вычислений является разложение функций в ряд. Удобнее всего пользоваться рядом Тейлора:

Этот ряд использует некоторую опорную точку x0 для вычисления функции в ее окрестностях. Производные в данной точке имеют фиксированные значения, так что искомая функция оказывается рядом, разложенным по целым степеням величины (x-x0). Зная величину (x-x0)ⁿ, можно получить (x-x0)ⁿ⁺¹ простым умножением.

Основные трансцендентные функции имеют следующее разложение:

Для рядов существует понятие радиуса сходимости – максимально допустимое отклонение аргумента от опорной точки. При превышении допустимого значения ряд может стать расходящимся и будет давать неверные значения. Ряды, приведенные выше, имеют бесконечный радиус сходимости

Радиус сходимости следующих рядов ограничен и равен 1.

(формула также называется биномом Ньютона).