Илья Тарасов - Руководство по программированию на Форте

обычно не хранят в памяти! Вместо него в этой позиции хранят знак мантиссы, а единица в старший разряд подставляется автоматически. Математические сопроцессоры фирмы Intel хранят старший бит мантиссы только во внутреннем представлении чисел с плавающей точкой, занимающем 80 бит.

Сложение и вычитание чисел с плавающей точкой имеет некоторые отличия от аналогичных операций над числами с фиксированной точкой. Это связано с тем, что перед сложением/вычитанием необходимо совместить положение десятичной точки в обоих операндах. Такая операция называется денормализацией. Мантисса числа с меньшим порядком последовательно сдвигается вправо с одновременным увеличением порядка. При равенстве порядков можно выполнять операцию сложения или вычитания над мантиссами. При этом порядок обоих операндов равен порядку результата.

0,11011011·2¹+0,10010110·2³

Поскольку первое число имеет меньший порядок, его необходимо денормализовать. Эквивалентной записью для него будет 0,00110110·2³

Теперь можно выполнить сложение мантисс: 0,001101102+0,100101102=0,110011002

Порядок результата равен 3.

Таким образом, результатом сложения является 0,110011002·2³

Примечание: после выполнения операции сложения или вычитания над мантиссами может потребоваться дополнительная нормализация мантиссы результата (в случае переполнения разрядной сетки или обнуления старших разрядов).

Из описания способа сложения/вычитания чисел с плавающей точкой видно, что его недостатком является потеря точности в случае существенного различия порядков. Например, попытка сложить числа с 16 разрядами мантиссы не приведет к видимому изменению, если порядки различаются более чем на 16. В этом случае операция нормализации вызовет обнуление одной из мантисс, и результатом сложения будет просто число с наибольшим порядком.

Операции умножения и деления чисел не требуют приведения порядков. Умножение производится по следующему правилу: перемножение мантисс операндов дает мантиссу результата, а порядок результата равен сумме порядков операндов. После получения мантиссы результата может потребоваться ее нормализация.

По схожим правилам производится и деление. Мантисса результата равна частному от деления мантисс операндов. Порядок результата равен разности порядка делителя и порядка делимого. Здесь также может потребоваться нормализация мантиссы.

Операции нормализации и денормализации могут представлять некоторые сложности при программной реализации. Обычно во избежание потери точности их проводят в специальном буфере, имеющем большую разрядность, чем мантисса в исходном представлении числа (подобный подход используется в сопроцессорах Intel, использующих 80-битный внутренний формат представления чисел и 32- и 64- битные форматы для чисел одинарной и двойной точности соответственно).

Трансцендентные функции

Особый интерес представляет вычисление трансцендентных функций. На практике необходимость их вычисления служит одной из главных причин использования вещественных чисел.

К трансцендентным относятся функции, которые не могут быть выражены с помощью четырех арифметических действий. Существуют различные классы трансцендентных функций: степенные, показательные, тригонометрические, гиперболические, а также обратные к этим классам. Несмотря на существующее многообразие, все эти функции могут быть получены из небольшого набора базовых трансцендентных функций.

Например, если существует способ вычисления функции , то можно использовать известные из тригонометрии соотношения: