Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

ОШИБАТЬСЯ

Повторю: это очень важная и нужная книга. Прочитав ее, человек приобретает не только привычку к логическому мышлению, но иммунитет к внешне
внушительной демагогии, основанной на жонглировании числами. По словам
14

Роджера Бэкона, «человек, не знающий математики, не способен ни к каким
другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства». Последнее особенно важно, и книга Джордана Элленберга — замечательный образец лекарства, которое так нам
необходимо.
Михаил Гельфанд,
доктор биологических наук, профессор,
член Academia Europaea

Посвящается Тане

Лучшее в математике не просто заслуживает изучения в качестве одной
из задач, а должно стать неотъемлемой частью повседневного мышления,
к которой разум обращается всякий раз со все бóльшим воодушевлением.
БЕРТРАН РАССЕЛ
«Изучение математики»,
1902 год*

* Russell Bertrand. The Study of Mathematics // Mysticism and Logic: And Other Essays. Longman, 1919. P. 60. Прим. М. Г.
Здесь и далее все постраничные сноски даются под знаком астериска (*). Примечания, написанные научным
редактором, даны с пометой М. Г.; примечания, сделанные редактором, — с пометой ред.; авторские примечания — без какой-либо пометы.

А МНЕ ЭТО ПРИГОДИТСЯ?

19

ПРОЛОГ

А МНЕ ЭТО ПРИГОДИТСЯ?

Сейчас, в эту самую минуту, где-то в мире какая-нибудь студентка пререкается
со своим преподавателем математики, вручившим ей список из тридцати определенных интегралов, на вычисление которых уйдет немалая часть ее драгоценных выходных.
На свете так много всего, чем она хотела бы заниматься. В принципе нет
такого дела, за которое она не была бы готова взяться — практически за любое,
но только не за решение интегралов. Это абсолютно точно, поскольку на прошлой неделе ей уже пришлось в свои выходные потратить уйму времени на почти такие же тридцать определенных интегралов. В подобном времяпровождении она не видит никакого смысла, о чем заявляет вслух. В их непростой беседе
наступает тот самый момент, когда наша студентка собирается задать вопрос,
которого любой преподаватель боится больше всего: И когда же мне это пригодится?
По всей вероятности, учитель математики ответит так: «Понимаю, сейчас
это занятие кажется вам бессмысленным. Но имейте в виду следующее: вы еще
не знаете, чем будете заниматься завтра; сегодня вы не находите никакой связи
между интегралами и своим будущим, но вы можете выбрать такую профессию,
в которой будет чрезвычайно важно уметь быстро и правильно вычислять определенные интегралы вручную».
Вряд ли подобный ответ удовлетворит студентку, поскольку он лживый. Что
понимают и преподаватель и ученик. Количество взрослых людей, которым
когда-либо пригодится интеграл (1 – 3x + 4x2)–2 dx, или формула косинуса 3θ,
или синтетическое деление многочленов, можно сосчитать на нескольких тысячах рук.

КАК НЕ ОШИБАТЬСЯ

Эта ложь не доставляет особого удовольствия и учителю. Мне ли не знать:
за многие годы преподавания математики я давал сотням студентов задание вычислять целые списки определенных интегралов.
20

К счастью, есть и более подходящее объяснение. Я постараюсь его для вас
сформулировать.
«Математика — не просто последовательность вычислений, которые необходимо выполнять механически до тех пор, пока у вас не закончится терпение
и выдержка — хотя эта мысль может показаться весьма далекой от того, чему
вас учили на курсах, именуемых „математика“. В математике интегралы играют
ту же роль, что силовые тренировки и физическая подготовка в футболе. Если
вы хотите научиться играть в футбол — а я имею в виду играть по-настоящему, — вам предстоит выполнить множество скучных, однообразных, на первый
взгляд бессмысленных упражнений. Используют ли когда-либо эти упражнения
профессиональные игроки? На поле никто не поднимает штангу и не бегает
зигзагами между конусами. Но все-таки футболисты используют ту силу, скорость, понимание сути игры и гибкость, которую они обрели в процессе выполнения — неделя за неделей — множества утомительных упражнений. Отработка таких упражнений — неотъемлемая часть обучения игре в футбол.
Если вы хотите зарабатывать игрой в футбол на жизнь или даже стать членом университетской команды, вам предстоит провести много скучных выходных на тренировочном поле. Другого пути нет. Но есть и хорошая новость: --">