Карлос М Мадрид Касадо - Гильберт. Основания математики. Вначале была аксиома.

один из лучших математических инструментов.

Гильберт опубликовал статью в 1890 году в журнале Mathematische Annalen, который издавал Клейн. Рецензентом выступил сам Гордан, и хотя вначале он потребовал внесения существенных изменений, в итоге признал революционный подход Гильберта. Работы Гордана составляли ужасно длинные и сложные вычисления, они контрастировали с краткой, элегантной и лаконичной статьей Гильберта, в основе которой лежало доведение до абсурда. Однако потребовалось решительное вмешательство Клейна, чтобы примирить их, поскольку Гильберт не желал трогать ни единой запятой в своей статье. В конце концов Гордан признал, что даже у теологии есть свое применение.

Гильберт бросил вызов и выиграл у тех, кто настаивал, будто математические доказательства должны базироваться на методе, рассматривающем сущности, наличие которых нужно доказать. Он доказал, что предположение о ложности гипотезы Гордана («существует базис инвариантов») ведет к противоречию. Этого было достаточно. Много лет спустя Гильберт объяснял своим студентам разницу между конструктивными доказательствами и теми, которые таковыми не являются (экзистенциальными), подчеркивая, что в аудитории есть кто-то, у кого на голове волос меньше, чем у других (никто из присутствующих не был абсолютно лысым), хотя мы не располагаем никаким способом выявить этого человека.

Это не математика! Это теология!

Гордан после ознакомления с доказательством Гильберта

На кон было поставлено не только будущее теории инвариантов (область исследования, которую Гильберт практически закрыл), но и нечто большее — противостояние двух подходов к математике: конструктивного — характерного для XIX века — и экзистенциального, свойственного XX столетию (когда слово «существовать» имело лишь одно значение: быть лишенным противоречия). Экзистенциальный подход Гильберта в дальнейшем обеспечил ему многие победы и многие споры.

Наконец, в 1892 году усилия Гильберта увенчались успехом, и он получил должность ординарного профессора Кёнигсбергского университета. Несмотря на то что в итоге он стал блестящим преподавателем, в начале его лекции едва привлекали студентов.

СОВРЕМЕННАЯ АЛГЕБРА И NULLSTELLENSATZ

Вавилоняне, египтяне и греки решали уравнения первой и второй степени, используя различные алгебраические техники. Следы греческой геометрической алгебры заметны по выражениям вроде «квадрат» и «куб» для второй и третьей степеней: «а в квадрате» — это квадрат со стороной а, а «а в кубе» — это куб с ребром а. Введение нового символьного аппарата (Диофант, Аль-Хорезми, Виет) определило настоящий прорыв в развитии алгебры и ее последующее отделение.

В эпоху Возрождения Тарталья (по- итальянски «заика») вывел формулу для решения уравнений третьей степени, но предпочел держать ее в секрете. Астролог и математик Джероламо Кардано убедил его открыть ее и затем опубликовал, выдавав за свою. Лодовико Феррари, бывший секретарь Кардано, получил другую формулу для решения уравнений четвертой степени, однако решение в радикалах полиномиального уравнения пятой степени им не далось. Через 300 лет Абель доказал, что это невозможно.

Гаусс в возрасте 52 лет. Литография из журнала «Астрономические новости», 1828 год.

Гаусс и основная теорема алгебры

Чтобы больше узнать о рождении современной алгебры, следует обратиться к докторской диссертации Гаусса, которую тот защитил в 1797 году. Гениальный Гаусс доказал то, что сегодня известно как основная теорема алгебры: любое полиномиальное уравнение степени п имеет ровно п решений среди комплексных чисел. Хотя этот результат допускал Декарт (различая действительные и мнимые корни), а также со множеством ошибок доказал Д’Аламбер, только доказательство Гаусса было исчерпывающим. Его работа радикально изменила облик алгебры. Именно этот долгий путь Гильберта сквозь теорию инвариантов определил Nullstellensatz, или теорему о нулях, — мощный результат, обобщивший основную теорему алгебры для того случая, когда вместо уравнения имеется система алгебраических уравнений.

Гильберт не впадал в отчаяние и расценивал этот период как процесс --">