Карлос М Мадрид Касадо - Гильберт. Основания математики. Вначале была аксиома.
Название: | Гильберт. Основания математики. Вначале была аксиома. | |
Автор: | Карлос М Мадрид Касадо | |
Жанр: | Математика, Научно-популярная и научно-познавательная литература, История науки | |
Изадано в серии: | Наука. Величайшие теории #34 | |
Издательство: | Де Агостини | |
Год издания: | 2015 | |
ISBN: | ISSN 2409-0069 | |
Отзывы: | Комментировать | |
Рейтинг: | ||
Поделись книгой с друзьями! Помощь сайту: донат на оплату сервера |
Краткое содержание книги "Гильберт. Основания математики. Вначале была аксиома."
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство. Среди коллег этого незаурядного ученого выделяла невероятная харизма, а знаменитые 23 кардинальные проблемы, сформулированные им в 1900 году, предопределили развитие самой дисциплины на десятилетия вперед. Он превратил город Гёттинген в мировую столицу математики, но стал свидетелем того, как его разоряют нацистские зачистки. Знаменитая фраза «Мы должны знать. Мы будем знать», выгравированная на его могиле, передает жажду знаний последнего великого математика-универсала.
Читаем онлайн "Гильберт. Основания математики. Вначале была аксиома.". [Страница - 5]
Однако нас интересует не ее содержание, а форма ее доказательства Гильбертом, поскольку это поможет представить путь развития его исследовательской карьеры. Как и в других областях математики, Гильберт разработал множество элементов, составивших новый подход. В данном случае он структурный алгебраический, сосредоточенный на структурах математических объектов в большей степени, чем на собственно математических объектах, а на группах, идеалах, кольцах и телах (алгебраических структурах) — в большей степени, чем на самих числах или конкретных многочленах, которые они содержат. Не осознавая этого, Гильберт готовил абстрактную алгебру XX века и мимоходом утвердил новый математический метод, знаменосцем которого стал позже.
Подход Гильберта разительно отличался от традиционного. Вместо того чтобы открыто искать решение проблемы, он доказал: проблема не может не иметь решения. Его доказательство было не конструктивным, а экзистенциальным. Он не предлагал решения напрямую («вот базис инвариантов»), а только доказывал, что оно обязательно должно быть («если бы не было базиса инвариантов, мы бы пришли к противоречию»). Следовательно, доказательство основной теоремы осуществлялось путем доведения до абсурда. Эта аргументация не была единодушно принята математическим сообществом.
Кронекер — одна из главных фигур немецкой математики того времени — высказался в этом отношении довольно резко. По слухам, подход Гильберта многим показался «зловещим». Для Кронекера доказательство существования обязательно означало построение того объекта, существование которого требовалось доказать. В данном случае это построение базиса инвариантов, которое, по утверждению Гильберта, существует. Он не принимал аргументов, что отсутствие существования базиса предполагает противоречие, следовательно, данный базис обязательно должен существовать, хотя его вычисление неосуществимо.
КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Чтобы понять разницу, рассмотрим пример. Если вопрос заключается в том, имеет ли уравнение х2 - 1 = 0 решение, у нас есть два варианта. Первый — найти решение с помощью вычислений и алгебраических манипуляций: х = 1 и х = -1. Второй — попытаться ответить косвенно: задействовав некую теорему, показать, что уравнение имеет решение, хотя мы не можем его найти. Естественно, второй путь оказывается эффективнее, когда математик сталкивается с намного более сложными проблемами, чем решение простого уравнения второй степени. Очень часто в уравнениях высшей степени легче доказать существование решения, чем найти его.Путь, известный со времен Античности
Эта характеристика является общей для многих математических проблем. Евклид доказал, что существует бесконечное количество простых чисел без необходимости перечислять их все. Он выстраивал свое рассуждение путем доведения до абсурда. Первый шаг в таком доказательстве состоит в том, чтобы отрицать высказывание, которое нужно доказать. Чтобы доказать, что существует бесконечное количество простых чисел, Евклид предположил, что их число конечное: р1 р2,... Рn. На основе этого предположения он делал выводы, пока не пришел к абсурдному утверждению. Если предположить, будто есть только n простых чисел, то либо число р1 х р2 х ... х рn + 1 (образованное произведением их всех плюс один) является простым, либо не является. В первом случае отмечается противоречие, поскольку это новое простое число не является ни одним из партии. Во втором случае, если это не простое число, оно должно делиться на простое число, но ни одно из чисел р1, р2,... рn явно не является его делителем (деление неточное, оно дает 1 в остатке). И тут мы вновь сталкиваемся с противоречием. Следовательно, гипотеза, что существует конечное количество простых чисел, ложная: их должно быть бесконечное количество (хотя мы не можем определить их по одному). Доведение до абсурда, которое так любили Евклид и Гильберт, — --">Книги схожие с «Гильберт. Основания математики. Вначале была аксиома.» по жанру, серии, автору или названию:
Антонио Руфиан Лизана - Гаусс. Теория чисел. Если бы числа могли говорить Жанр: Математика Год издания: 2015 Серия: Наука. Величайшие теории |
Хосе Муньос Сантонья - Лейбниц. Анализ бесконечно малых. Физика учит новый язык Жанр: Математика Год издания: 2015 Серия: Наука. Величайшие теории |
Луис Фернандо Ареан Альварес - Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма Жанр: Математика Год издания: 2015 Серия: Наука. Величайшие теории |
Энрике Грасиан Родригес - Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр. Жанр: История науки Год издания: 2015 Серия: Наука. Величайшие теории |
Другие книги из серии «Наука. Величайшие теории»:
Давид Бланко Ласерна - Эйнштейн. Теория относительности. Пространство – это вопрос времени. Жанр: История науки Год издания: 2015 Серия: Наука. Величайшие теории |
Жозе Наварро Фаус - Гейзенберг. Принцип неопределенности. Существует ли мир, если на него никто не смотрит? Жанр: История науки Год издания: 2015 Серия: Наука. Величайшие теории |
Хайме Наварро - Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт. Жанр: Физика Год издания: 2014 Серия: Наука. Величайшие теории |
Эугенио Мануэль Фернандес Агиляр - Ампер. Классическая электродинамика. Неопределенный электрический объект Жанр: Физика Год издания: 2015 Серия: Наука. Величайшие теории |