Леонард Сасскинд , Арт Фридман - Теоретический минимум. Специальная теория относительности и классическая теория поля

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.2.1. Тензоры 2-го ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.2. Тензоры высшего ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.2.3. Инвариантность тензорных уравнений . . . . . . . . . 239
6.2.4. Поднятие и опускание индексов . . . . . . . . . . . . . 240
6.2.5. Симметричные и антисимметричные тензоры . . . . 242
6.2.6. Антисимметричный тензор . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.3. Электромагнитные поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.3.1. Интеграл действия и векторный потенциал . . . . . . 246
6.3.2. Лагранжиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.3.3. Уравнения Эйлера — Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . 250
6.3.4. Лоренц-инвариантные уравнения . . . . . . . . . . . . 259
6.3.5. Уравнения с 4-скоростью . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.3.6. Связь Aµ с
6.3.7. Значение

и

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Uµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

6.4. Интерлюдия: тензор поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

10

Содержание

Лекция 7. Фундаментальные принципы и калибровочная
инвариантность..................................................................270
7.1. Сводка фундаментальных принципов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.2. Калибровочная инвариантность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.2.1. Примеры симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.2.2. Новый тип инвариантности . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.2.3. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.2.4. Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Лекция 8. Уравнения Максвелла.........................................284
8.1. Пример Эйнштейна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.1.1. Преобразование тензора поля . . . . . . . . . . . . . . . 288
8.1.2. Пример Эйнштейна: сводка . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.2. Введение в уравнения Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2.1. Векторные тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.2.2. Магнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.2.3. Электрическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.2.4. Еще два уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . 298
8.2.5. Плотность заряда и плотность тока . . . . . . . . . . . 300
8.2.6. Сохранение заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.2.7. Уравнения Максвелла: тензорная форма . . . . . . . . 311
8.2.8. Тождество Бьянки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Лекция 9. Физические следствия .
уравнений Максвелла.........................................................317
9.1. Математическая интерлюдия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.1.1. Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.1.2. Теорема Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.1.3. Безымянная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Содержание

11

9.2. Законы электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9.2.1. Сохранение электрического заряда . . . . . . . . . . . 325
9.2.2. От уравнений Максвелла к законам
электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
9.2.3. Закон Кулона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
9.2.4. Закон Фарадея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.2.5. Закон Ампера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.2.6. Закон Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Лекция 10. От Лагранжа к Максвеллу..................................338
10.1. Электромагнитные волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.2. Лагранжева формулировка электродинамики. . . . . . . . . . . . 344
10.2.1. Локальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.2.2. Лоренц-инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
10.2.3. Калибровочная инвариантность . . . . . . . . . . . . 350
10.2.4. Лагранжиан в отсутствие источников . . . . . . . . . 350
10.3. Вывод уравнений Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.4. Лагранжиан с ненулевой плотностью тока. . . . . . . . . . . . . . . 359
Лекция 11. Поля и классическая механика...........................365
11.1. Энергия и импульс поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
11.2. Три вида импульса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.2.1. Механический импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.2.2. Канонический импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
11.2.3. Нётер-импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
11.3. Энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
11.4. Теория поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.4.1. Лагранжиан для полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.4.2. Действие для полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

12

Содержание

11.4.3. Гамильтониан для полей . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11.4.4. --">