Антонио Дуран - Истина в пределе. Анализ бесконечно малых
Название: | Истина в пределе. Анализ бесконечно малых | |
Автор: | Антонио Дуран | |
Жанр: | Математика, Научно-популярная и научно-познавательная литература | |
Изадано в серии: | Мир математики #14 | |
Издательство: | Де Агостини | |
Год издания: | 2014 | |
ISBN: | 978-5-9774-0708-3 | |
Отзывы: | Комментировать | |
Рейтинг: | ||
Поделись книгой с друзьями! Помощь сайту: донат на оплату сервера |
Краткое содержание книги "Истина в пределе. Анализ бесконечно малых"
Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Исчисление бесконечно малых — общее понятие для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Анализ бесконечно малых — вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное учеными. Становление этого понятия связано с именами блистательных математиков: Архимеда, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма Лейбница, Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса. В этой книге идет речь об анализе бесконечно малых и его удивительной истории.
Читаем онлайн "Истина в пределе. Анализ бесконечно малых". [Страница - 3]
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя (65) »
Чтобы использовать анализ бесконечно малых при решении задач, сначала требуется описать задачу на языке функций.
После того как природные, физические или экономические процессы, которые мы хотим изучить, представлены в виде функций, в дело вступают фундаментальные понятия анализа бесконечно малых. С их помощью можно извлечь из функций интересующую нас информацию.
Производные
Основное понятие дифференциального исчисления — это понятие производной. В действительности это один из краеугольных камней не только математики, но и науки в целом, ведь за ним скрываются такие фундаментальные понятия, как скорость или сила в физике, угол наклона касательной к кривой в геометрии и многие другие.Производная функции f в точке а показывает, как изменится функция в этой точке по сравнению с тем, как изменяется значение переменной. Рассмотрим две функции из прошлых примеров: s(t) = √t и v(t) = t2. При t = 1 обе эти функции принимают значение 1: s(l) = 1 и v(1) = 1. Однако из таблицы значений видно, что поведение функций вблизи t = 1 существенно различается:
t — s(t) — v(t)
0,8 — 0,8944… — 0,64
0,9 — 0,9486… — 0,81
1 — 1 — 1
1,1 — 1,0488… — 1,21
1,2 — 1,0954… — 1,44
Заметьте, что функция v вблизи 1 изменяется более резко, чем функция s.Чтобы измерить эти изменения, то есть чтобы определить производную, выберем произвольное число а и близкое к нему число a + h. Рассмотрим, как изменяется значение функции в этих точках по сравнению с изменением значения переменной. Для этого разделим разность значений функции f(a + h) — f(а) на разность значений переменных, а + h — a = h. Искомая дробь будет иметь вид:
(f(a+h) — f(a))/h
Продолжим рассматривать функции s(t) = √t и v(t) = t2. Вычислим значения этой дроби для а = 1:Наибольшее значение этой дроби для функции v приближается к 2, для функции s оно примерно равно 0,5. Это указывает на все тот же факт, который можно видеть из предыдущей таблицы: функция v вблизи точки 1 изменяется быстрее, чем функция s. Нас особенно интересует значение дроби
(f(a+h)-f(a))/ h
при h = 0, то есть когда числа а + h и а совпадают. Это значение мы назовем производной функции f в точке а. Будем обозначать его f’(а). Это обозначение ввел французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) (см. главу 6). Как можно видеть, значение этой дроби равно 0/0, то есть оно не определено.Однако это лишь кажущаяся неопределенность, поскольку, как показано в предыдущей таблице, для наших функций s(t) = √t и v(t) = t2 при малых значениях h, отличных от нуля, обе дроби
(s(l+h)-s(l))/h и (v(1+h) –v(1))/h
определены и равны соответственно 0,5 для функции s(t) = √t и 2 — для функции v(t) = t2. Далее мы покажем, что эти значения действительно соответствуют значениям производных обеих функций в точке 1, то есть s’(l) = 0,5 и v’(l) = 2.Деление ноля на ноль, возникающее при определении производной, представляло трудность для ученых XVII века и их предшественников всякий раз, когда они пытались рассчитать, например, угол наклона касательной к кривой или мгновенную скорость движения тела, зная пройденный им путь.
Бесконечность, основа анализа бесконечно малых, скрывается именно в этой операции деления ноля на ноль. Как мы только что сказали, нас интересует значение дроби
(f(a+h)-f(a))/ h
при h = 0, когда и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Подобные величины, равные нулю, отношение которых необходимо найти, математики XVII века назвали бесконечно малыми.Анализ бесконечно малых, созданный Ньютоном и Лейбницем и усовершенствованный Леонардом Эйлером (1707—1783) и другими математиками XVIII века, можно назвать искусством манипулирования бесконечно малыми величинами. Как рассказывается в следующих главах, парадоксально, но ни один из этих гениальных математиков не определил сколько-нибудь точно понятие бесконечно малой величины, которое легло в основу математического анализа.
Ньютону и Лейбницу удалось завершить работу множества их коллег — математиков XVII века и создать анализ бесконечно малых, одним из разделов которого является дифференциальное исчисление. Ньютон и --">- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя (65) »
Книги схожие с «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» по жанру, серии, автору или названию:
Эдуар Жан-Батист Гурса - Курс математического анализа. Том III. Часть I. Бесконечно близкие интегралы. Уравнения с частными... Жанр: Математика Год издания: 1933 Серия: Курс математического анализа |
Бизенц Торра - Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления Жанр: Математика Год издания: 2014 Серия: Мир математики |
Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе Жанр: Математика Год издания: 2014 Серия: Мир математики |
Пере Грима - Том13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики Жанр: Математика Год издания: 2014 Серия: Мир математики |
Другие книги из серии «Мир математики»:
Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление Жанр: Математика Год издания: 2014 Серия: Мир математики |
Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии Жанр: Математика Год издания: 2014 Серия: Мир математики |
Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике Жанр: Математика Год издания: 2014 Серия: Мир математики |
Фернандо Корбалан - Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) Жанр: Математика Год издания: 2014 Серия: Мир математики |