Хосеп Каррера - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

рассматривается деление заданной фигуры одной или несколькими прямыми, «соблюдая некоторые условия», чтобы площади получившихся частей соотносились друг с другом определенным образом. Например, требуется произвести следующее деление:

Задача 20. Отделить треть треугольника ААВС с помощью прямой, которая проходит через точку D внутри треугольника.

Такие геометрические задачи скорее вписываются в математическую традицию Вавилона, чем в изложенную в «Началах». Фрагменты этого сочинения, известные нам, взяты из латинского перевода 1563 года и арабского перевода, обнаруженного в Париже в 1851 году. Единственные четыре предложения с доказательствами напоминают предложения из «Начал». Всего в сочинении содержится 36 предложений.

Сочинение «Псевдария» также не дошло до наших дней. О нем рассказывает Прокл:

«Это сочинение, в котором он дает нам такую подготовку, он назвал «Ложные умозаключения» и в нем перечислил в должном порядке их виды, дал нашей мысли упражнения в каждом виде, противопоставил лжи истину и дал опровержение лжи соответственно со способом ее проведения. Таким образом, эта книга — очистительная, имеющая целью упражнение, а «Начала» содержат неопровержимое и совершенное изложение самого научного рассмотрения предмета геометрии».

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Конические сечения (или просто коники) являются пересечением конуса (двойного) с плоскостью. Тип сечения зависит от угла плоскости. Как видно на рисунке 1, если плоскость параллельна оси конуса, мы получаем гиперболу ( состоящую из двух ветвей), если плоскость параллельна образующей конуса, то параболу, а в других случаях — эллипс (включая окружность как частный случай). На рисунке 2 изображены различные конические сечения в зависимости от соотношения фокуса и директрисы.

РИС. 1

РИС. 2

Это был самый настоящий учебник, об утере которого можно только сожалеть, так как он прояснил бы, какие ошибки Евклид считал геометрическими, а какие — логическими.

Еще одно утерянное сочинение, которое цитирует Папп, — «Поверхностные места». Содержание этого свода текстов по высшей геометрии было гораздо сложнее, чем в «Началах». Как говорит Папп, в нем рассматривались «места, а точнее положение, линии или фигуры, точки которых обладают некоторым свойством» и «построение таких мест», то есть линий, например квадратрисы, цилиндрической спирали и подобных, или таких фигур, как конусы, цилиндры, сферы или полученные путем вращения конических сечений (эллипса, гиперболы и параболы). В сочинении дается такая классификация конических сечений по соотношению фокуса и директрисы, при которой не нужно прибегать к трехмерному пространству:

«Геометрическое место точек, при котором отношение между расстоянием от заданной точки [фокусом] и от заданной прямой [директрисой] остается постоянным, является коническим сечением: эллипсом, параболой или гиперболой в зависимости от того, меньше, равно или больше единицы это расстояние».

Сочинение «Поризмы» включало 171 предложение, 38 лемм и 29 классов поризмов. Специалисты считают, что потеря этого труда является большой утратой. Евклид рассказывает о том, как можно получить неопределенные геометрические объекты, когда не заданы все их необходимые характеристики. Таким образом, поризм — это гибрид проблемы и теоремы: можно установить его наличие, но невозможно его продемонстрировать, так как он неопределен. В «Началах» термин «поризм» употребляется в значении непосредственного следствия из только что доказанной теоремы.

О «Конических сечениях» Франсиско Вера, переводчик «Начал» на испанский язык, пишет:

«...об их содержании мы можем только строить догадки. Современные критики полагают, что они были адаптацией сочинения Аристея на ту же тему и на основе него впоследствии написал свой трактат Аполлоний. Архимед несколько раз --">