Анри Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики
litresНазвание: | Теорема века. Мир с точки зрения математики | |
Автор: | Анри Пуанкаре | |
Жанр: | Математика, Научная литература | |
Изадано в серии: | Квант науки | |
Издательство: | Родина | |
Год издания: | 2020 | |
ISBN: | 978-5-907255-12-8 | |
Отзывы: | Комментировать | |
Рейтинг: | ||
Поделись книгой с друзьями! Помощь сайту: донат на оплату сервера |
Краткое содержание книги "Теорема века. Мир с точки зрения математики"
«Наука не сводится к сумме фактов, как здание не сводится к груде камней». (Анри Пуанкаре)
Автор теоремы, сводившей с ума в течение века математиков всего мира, рассказывает о своем понимании науки и искусства. Как выглядит мир, с точки зрения математики? Как разрешить все проблемы человечества посредством простых исчислений? В чем заключается суть небесной механики? Обо всем этом читайте в книге!
К этой книге применимы такие ключевые слова (теги) как: великие ученые,занимательная математика,методология науки,просто о сложном
Читаем онлайн "Теорема века. Мир с точки зрения математики" (ознакомительный отрывок). [Страница - 5]
Свойства умножения. Дистрибутивность. Я утверждаю, что
(а + b) × с = (а × с) + (b × с).Мы проверяем аналитически справедливость этого равенства для с = 1; а потом проверяем, что если теорема справедлива для с = γ, то она будет справедлива и для с = γ + 1.
Предложение опять доказано рекурренцией.
Коммутативность. 1. Я утверждаю, что
a × 1 = 1 × a.Теорема очевидна для а = 1.
Проверяем аналитически, что если она справедлива для а = α, то она будет справедлива и для а = α + 1.
2. Я утверждаю, что
a × b = b × a.Теорема только что была доказана для b = 1. Аналитически проверяем, что если она справедлива для b = β, то она будет справедлива и для b = β + 1.
IV
Здесь я прерываю этот монотонный ряд рассуждений. Но именно эта монотонность и способствовала лучшему выделению того однообразного процесса, который мы находим на каждом шагу.Этот процесс есть доказательство путем рекурренции. Сначала формулируется теорема для n = 1; потом доказывается, что если она справедлива для n − 1, то она справедлива и для n, и отсюда выводится заключение о справедливости ее для всех целых чисел.
Мы только что видели, как можно воспользоваться этим для доказательства правил сложения и умножения, т. е. правил алгебраического вычисления; это вычисление есть орудие преобразования, которое применяется в гораздо большем числе разнообразных комбинаций, чем простой силлогизм; но это орудие еще чисто аналитическое, оно не способно научить нас ничему новому. Если бы математика не имела ничего другого, она тотчас же остановилась бы в своем развитии; но она получает новое средство в том же процессе, т. е. в рассуждении путем рекурренции, и потому может непрерывно продолжать свое поступательное движение.
В каждом шаге, если его хорошенько рассмотреть, мы находим этот способ рассуждения – или в той простой форме, которую мы только что ему придали, или в форме более или менее видоизмененной.
В нем, следовательно, по преимуществу заключается математическое рассуждение, и нам следует изучить его ближе.
V
Существенная черта умозаключения путем рекурренции заключается в том, что оно содержит в себе бесчисленное множество силлогизмов, сосредоточенных, так сказать, в одной формуле.Чтобы лучше можно было себе это уяснить, я сейчас расположу эти силлогизмы один за другим в виде некоторого каскада. Это, в сущности, – гипотетические силлогизмы.
Теорема верна для числа 1.
Если же она справедлива для 1, то она справедлива для 2.
Следовательно, она верна для 2.
Если же она верна для 2, то она верна для 3.
Следовательно, она верна для 3 и т. д.
Очевидно, что заключение каждого силлогизма служит следующему меньшей посылкой.
Большие посылки всех наших силлогизмов могут быть приведены к одной формуле:
Если теорема справедлива для n − 1, то она справедлива для n.
Таким образом, очевидно, что в рассуждении путем рекурренции ограничиваются выражением меньшей посылки первого силлогизма и общей формулы, которая в виде частных случаев содержит в себе все большие посылки.
Этот никогда не оканчивающийся ряд силлогизмов оказывается приведенным к одной фразе в несколько строк.
Теперь легко понять, почему всякое частное следствие, вытекающее из теоремы, может быть, как я изложил выше, проверено чисто аналитическим процессом.
Если, вместо того чтобы доказывать справедливость нашей теоремы для всех чисел, мы желаем обнаружить ее справедливость, например, только для числа 6, для нас будет достаточно обосновать 5 первых силлогизмов нашего последовательного ряда; если бы мы пожелали доказать теорему для числа 10, надо было бы взять их 9; для большого числа надо было бы взять их еще больше; но как бы велико ни было это число, мы всегда в конце концов его достигли бы, и аналитическая проверка была бы возможна.
Однако как бы далеко мы ни шли, мы никогда не могли бы дойти до общей применимой ко всем числам теоремы, которая одна только и может быть предметом науки. Чтобы ее достигнуть, понадобилось бы бесконечно большое число силлогизмов – нужно перескочить бездну, которую никогда не будет в состоянии заполнить терпение аналитика, ограниченное одними средствами формальной логики.
Вначале я поставил вопрос, почему нельзя было бы вообразить ум, достаточно мощный для того, чтобы сразу подметить всю --">Книги схожие с «Теорема века. Мир с точки зрения математики» по жанру, серии, автору или названию:
Энрике Грасиан Родригес - Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр. Жанр: История науки Год издания: 2015 Серия: Наука. Величайшие теории |
Рэм Александрович Симонов - Кирик Новгородец — ученый XII века Жанр: Биографии и Мемуары Год издания: 1980 Серия: АН СССР. Научно-популярная литература. Научные биографии |
Адольф Павлович Юшкевич - История математики в средние века Жанр: История Средних веков Год издания: 1961 |
Другие книги автора «Анри Пуанкаре»:
Анри Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики Жанр: Научная литература Год издания: 2020 Серия: Квант науки |
Анри Пуанкаре - Лекции по небесной механике Жанр: Научная литература Год издания: 1965 |
Анри Пуанкаре - Теория вероятностей Жанр: Физика Год издания: 1999 |