Алексей Владимирович Савватеев - Математика для гуманитариев: живые лекции

доказал Алексей. И не просто доказал при помощи какого-то там шаманства, пошаманил-пошаманил и сказал, что нет решения у этой задачи. Мы получили такое знание, которое смо­жем воспроизвести и доказать, что выиграть в игру “пятнашки” невозможно».

Насчет пошаманить есть очень поучительный эпизод из жиз­ни математиков. В начале XX века жил в Индии математик Сри­ниваса Рамануджан. На момент начала нашей истории ему было 26 лет. Он заваливал письмами лондонское математическое обще­ство, в которых были формулы, содержащие числа «7Г» и «е» (мы с ними позже познакомимся) и страшные бесконечные суммы, ко­торым эти выражения равны. В Лондоне проверяют — всё верно. А Рамануджан присылает всё новые и новые письма. Профессор математики Г. Харди приглашает его приехать в Англию и рас­сказать, как он выводит эти формулы. Рамануджан отвечает, что формулы сообщает ему во сне богиня Маха-Лакшми1. Харди, ко­нечно, посмеялся, решив, что индус не хочет делиться секретом.

Английский математик пишет новое письмо, в котором пытается заверить Рамануджана, что никто не будет претендовать на его открытие. Такое предположение оскорбляет индуса. Он отвечает, что совершенно не дорожит такими вещами, как авторство.

В конце концов Рамануджан все-таки приехал в Лондон, где стал профессором университета. Многие присланные им формулы оказались верны. Но далеко не все из предложенных им формул на сегодняшний день доказаны. Некоторые из них остаются от­кровениями, которые были сообщены богиней Рамануджану. «Аб­солютное» их доказательство пока неизвестно.

А теперь отдохнем, посмотрим на этот футбольный мяч (рис. 3).

Из чего состоит мяч? Он сшит из лоскутков. Вы когда-нибудь задумывались над том, как именно сделан футбольный мяч и по­чему именно так? Это чисто математический вопрос. Вы пока подумайте, где же тут математика. А я приступаю к математиче­скому доказательству невозможности выиграть в игру «15».

Начнем с гораздо более простой ситуации. Возьмем доску 8x8 (рис. 4) и достаточно большой запас (заведомо больший, чем нам может понадобиться) костей домино (одна доминошка покрывает две клеточки на доске).

Теперь я аккуратненько отрезаю у квадрата 8x8 два проти­воположных угла (рис. 5). Получилась фигура, которая состоит из 62 квадратиков. Число, делящееся на 2. Поэтому почему бы не попробовать замостить ее доминошками. Но если вы начнете пытаться сделать это один, два, три, четыре раза, у вас ничего не будет получаться. 30 доминошек влезет, а 31-я нет. Физик, когда увидит эту ситуацию, поэкспериментирует 1000 раз и ска­жет: «Экспериментально установлен закон нарисованная фи­гура не замощается доминошками 1 х 2». Физик2 также может наблюдать за игрой в футбол много-много раз и сказать: «Экс­периментально установлено, что мяч падает вниз, а также, знаете,

все остальные тела, похоже, тоже падают вниз». Все знают, что все тела падают вниз. Это экспериментальный факт. Но доказать этот факт, в принципе, невозможно. Никто на свете не гаранти­рует, что завтра этот закон не прекратит действовать. Придумают какую-нибудь гравицапу, и всё полетит не вниз, а вверх. Это — фи­зический закон, он не может быть доказан. Он может быть только проверен очень много раз. Еще хуже с социальными и экономиче­скими законами, например, с законом «спрос рождает предложе­ние». У экономистов много таких заклинаний. И они очень часто не работают. Наступает кризис, наступает новая фаза развития социума — и всё. Перестают быть верными старые законы. Соци­альная реальность постоянно ломает стереотипы, которые связа­ны с ее поведением, развитием, эволюцией. Физическая реальность так не делает, но тем не менее доказательств в ней тоже нет.

В нашем случае с доской мы, в принципе, можем попробо­вать перебрать все варианты и сделать вывод — не получилось. Но сколько времени нам нужно будет потратить? Давайте при­мерно оценим. Сколькими способами можно положить первую до­миношку?