Алексей Владимирович Савватеев - Математика для гуманитариев: живые лекции

class="book">Слушатель: Тремя.

А.С. (показывая на доске 8x8 различные положения кости домино): Раз, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять...

Слушатель: Двумя.

Слушатель: Тридцатью.

А.С.: Ну, тридцатью — хорошо. А почему двумя?

Слушатель: Вертикально и горизонтально.

А.С.: Это два способа ее расположения. А сколько положений на самой доске она может занять?

Слушатель: Кучу.

А.С.: Очень-очень много. 30 — это довольно хороший ответ. На самом деле около 50. Давайте исходить из 50. На самом де­ле не важно, что 30, что 50, даже 10. Потому что после того как мы положили первую такую фишечку, сколько способов остается для второй?

Слушатель: (п- 1).

А.С.: Грубо говоря, 49. Еще, на самом деле, надо учесть поря­док, в котором мы положили доминошки. Нужно поделить на два. То есть 50 умножим на 49 и поделим на два.

Дальше кладем третью, четвертую и так далее. И каждый раз домножаем и домножаем — количество вариантов очень быстро растет. (Показывает на доске всё новые варианты.)

Есть миф, будто математика состоит из формул. В 1993 го­ду, когда я учился на 3-м курсе мехмата, я ехал на Урал к тете. Со мной в купе ехала мама с маленькой 4-летней дочкой. И дочка говорит: «Мам,а, а можно почит,ат,ъ дядину книгу?» Книга м,оя называлась «Алгебра». Мама сказала: «Ты в ней ничего не пой­мешь, там одни формулы». Я передаю книгу и говорю: «Найди­те первую формулу. На какой она странице?» Формул в книге по алгебре не очень много, и самое страшное не в их количестве, а в том, что они ужасающие, в них одни буквы, даже цифр почти нет. Это, скорее, похоже на какой-т,о древний язык. Совершенно не то в книге, что должно быть с точки зрения людей. Идея, что математика состоит из формул, столь же чудовищна, как мысль, что в храм люди заходят, чтобы просто совершить обряд, поставить свечку. Моя дочь говорит, например: «Пойдем,, поста­вим огоньки». Для нее это нормально, она маленькая. Матема­тика — это вселенная, в которой есть язык формул. Но суть не в нём, а в том, какие глубинные законы есть в математи­ке. И вот эти законы, эту внутреннюю красоту я постараюсь вскрыть.

После такого философского отступления вернемся к нашей доске.

Произведение, которое получится уже через 20 умножений, име­ет порядок количества атомов во вселенной (как любят говорить в научно-популярных книгах). Вот с чем сравнимо количество спо­собов, которые нужно перебрать, чтобы заявить: «Мы перебрали все варианты, задачу решить нельзя». Надо придумать что-то дру­гое. И то, что мы сейчас придумаем это абсолютное доказатель­ство.

Может быть, у кого-то есть идеи?

Слушатель: Взять площадь каждой фишки и разделить на нее общую площадь поля.

А.С.: Ничего не выйдет. Общая площадь 62, у каждой фишки 2, значит нужна 31 доминошка, это мы понимаем. Но 30 умещается, а 31 нет (рис. 6).

Последняя доминошка распадается на два квадратика в разных местах. И что бы вы ни делали, последняя будет, как заколдован­ная, распадаться на два квадратика.

Теперь я доказываю, что замостить доску доминошками невоз­можно.

Ведь перед нами, по сути, шахматная доска. Давайте вернем ей ее шахматный вид. Клетки на ней будут то черные, то белые (рис. 7).

После вырезания двух угловых квадратиков, сколько черных и сколько белых клеточек останется?

Слушатель: Одних будет больше, других меньше.

Слушатель: Одна доминошка должна покрывать и белую, и черную, да?

А.С.: Кто-то уже всё понимает (см. рис. 8). Любая доминош­ка, уложенная на эту доску, покрывает и белую, и черную клет-

ку. Поэтому, если бы фигуру, которую я

--">