Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

нашей планете – 130 000 к одному. Экспоненциальные кривые иногда называют J-образными, так как они почти повторяют крутую кривую буквы J. Разумеется, по мере того, как бактерии используют питательные вещества в молоке и меняют его кислотность (рН), условия для роста ухудшаются, а его экспоненциальность сохраняется относительно недолго. На деле почти в каждом реальном сценарии долгосрочный экспоненциальный рост оказывается неустойчивым, а во многих случаях и патологическим, поскольку растущий объект истощает ресурсы донора, лишая его жизнеспособности. Так, устойчивый экспоненциальный рост клеток в организме является характерным признаком рака.

Рис. 2. J-образная кривая экспоненциального роста (слева) и спада (справа)

Другой пример экспоненциальной кривой – водная горка с эффектом свободного падения: в своей верхней части она настолько крута, что посетители этого аттракциона испытывают чувство невесомости. Спускаясь по такой горке, мы путешествуем по экспоненциальной кривой спада, а не по кривой роста (пример такого графика – вторая линия на рис. 2). Экспоненциальное затухание происходит, когда количество уменьшается пропорционально своему текущему объему. Представьте, что вы открываете огромный пакет М&Ms, выливаете их на стол и съедаете все конфетки, упавшие на стол буквой М кверху. Остальное кладете обратно в пакет – до завтра. На следующий день встряхните пакет и снова вывалите конфеты на стол. Снова съешьте все те, что лежат буквой M кверху, а остальное положите обратно. Каждый раз, когда вы выливаете конфеты из пакета, вы съедаете примерно половину от остатка, независимо от того, сколько конфет вы съели в первый раз. Количество конфет уменьшается пропорционально количеству оставшихся в пакете, то есть происходит экспоненциальное падение их общего числа. Точно так же экспоненциальная водяная горка начинается высоко и почти вертикально, так что скатывающийся падает очень быстро. Когда у нас много конфет, то и на съедение их выпадает много. Но кривая постепенно теряет свою крутизну, пока не станет почти горизонтальной к концу горки; чем меньше сладостей у нас остается, тем меньше конфет мы получаем с каждым новым днем. Каждая конкретная конфета падает буквой М вверх или вниз случайно и непредсказуемо, но предсказуемое затухание экспоненциальной кривой водной горки проявляется в количестве остающихся у нас с течением времени конфет.

В этой главе мы выявим скрытую связь между экспоненциальным поведением и повседневными явлениями: распространением эпидемии в популяции или мемов в интернете; быстрым ростом эмбриона и слишком медленным ростом денег на наших счетах; тем, как мы воспринимаем время, и даже тем, как взрывается ядерная бомба. По ходу дела мы постепенно и аккуратно раскроем всю трагедию пирамиды «Отдай и получи». Истории людей, потерявших сбережения в подобных схемах, демонстрируют, как важно уметь мыслить экспоненциально, что, в свою очередь, поможет нам предвосхищать невероятные порой темпы изменений в современном мире.

Дело больших процентов

В тех редчайших случаях, когда мне удается внести депозит на банковский счет, я утешаю себя тем, что какими бы мизерными ни были мои сбережения, растут они всегда в геометрической прогрессии. Действительно, банковский счет не предполагает никаких ограничений на экспоненциальный рост – по крайней мере, на бумаге. При условии, что процент начисляется на процент (то есть проценты прибавляются к текущему объему денег на счете, и новый процент начисляется уже на все вместе), общая сумма на счете увеличивается пропорционально его текущему размеру, что характерно для экспоненциального роста. Как выразился Бенджамин Франклин, «деньги зарабатывают деньги, а деньги, которые заработаны деньгами, зарабатывают еще больше денег». Со временем – если хватит этого времени и терпения – даже мизерный вклад способен превратиться в целое состояние. Однако не стоит торопиться запирать ваш отложенный на черный день резерв на депозитном счете. Инвестируя ежегодно по 100 фунтов под 1 % годовых, миллионером вы станете через 900 с лишним лет. Хотя рост по --">