Фернандо Корбалан - Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

процессом. А ведь это сравнительно простая операция умножения двух трехзначных чисел. Этот пример показывает, что ключевым свойством современной системы счисления является не просто ее основание (10), но также и то, что значение каждой цифры зависит от ее обозначения (1, 2 и т. д.) и положения относительно других цифр (сравните, например, 12 с 21). Позиционной десятичной системе, таким образом, требуется всего десять цифр для записи любого числа.

Но самым важным является наличие особого символа, обозначающего отсутствие какого-либо количества. Таким образом, чтобы показать, что ничего нет, мы не говорим «нет никакого количества», а говорим «есть нулевое количество». И вместо того, чтобы ничего не писать, мы пишем 0. (Современный о-образный символ появился от простой точки, которая использовалась вначале.)

Присвоение значения отсутствию количества означает отождествление несуществования чего-либо с отсутствием чего-либо, что могло бы присутствовать. Это может показаться довольно бессмысленным, но это неразрывно связано с ростом торговли и коммерции, а на протяжении времени и с прогрессом. Например, во многих отношениях европейское Возрождение возникло из ничего — из числа ноль!

Этот иероглиф майя первого века до нашей эры — первое документальное подтверждение использования числа ноль. Однако цивилизация майя использовала непозиционную систему счисления: единица обозначалась точкой, число 5 — линией, число 14 — четырьмя точками и двумя линиями и так далее.

Первые числа, которые использовали люди, называются натуральными (1, 2, 3, 4, 5…). Согласно учению пифагорейцев, самой влиятельной теории в древнегреческой математике, имеющей основополагающее значение и для современной науки, с помощью натуральных чисел можно описать окружающий нас мир. Натуральные числа (а также ноль и целые отрицательные числа) и построенные с их помощью дроби математики называют рациональными числами. Этот термин становится более понятен, если мы заметим, что слово «рациональный» имеет тот же корень, что и слово «ration», которое, в свою очередь, связано со словом «ratio» («отношение»), а именно соотношение двух величин. Число называется рациональным, поскольку является результатом отношения, деления, а не потому, что оно «разумное» — в другом смысле слова «рациональный».

Пифагор и его последователи более 20 веков назад знали, что корень из двух (√2) не является рациональным числом. Это число нельзя выразить в виде отношения двух натуральных чисел — как результат деления одного числа на другое. Пифагорейцы думали, что числа являются священными сущностями. Они верили, что все в мире может быть измерено, что все имеет численную природу. Поэтому идея невыразимого числа противоречила самой основе их философии.

Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными. Это довольно обманчивое название просто означает, что такие числа не могут быть выражены в виде отношения двух натуральных чисел. Представим только замешательство пифагорейцев, когда они обнаружили действительно иррациональные величины, которые невозможно точно измерить, например, обычную диагональ в квадрате со стороной, равной единице (это и будет число √2). Неудивительно, что они попытались утаить такое неприятное открытие.

Существует много математических отличий между рациональными и иррациональными числами, но, пожалуй, одно из самых замечательных и интуитивно понятных — так называемая «музыкальность». Это хотя и не строго математическое отличие имеет математическую причину, а именно: различие в десятичной записи рациональных и иррациональных чисел.

Десятичные знаки рациональных чисел образуют повторяющуюся последовательность, называемую «периодической», в то время как десятичные знаки иррациональных чисел не повторяются ни с какой закономерностью, они появляются один за другим в непредсказуемом порядке. Однако если каждой цифре мы поставим в соответствие ноту и «сыграем» десятичные знаки рационального числа, мы услышим повторяющуюся мелодию, похожую на мотив песни. С другой стороны, музыка иррациональных чисел представляет собой неприятную какофонию.

--">