Георгий Константинович Муравин , Ольга Викторовна Муравина - Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень. Учебник

отмечены задания, которые следует выпол­
нять с помощью калькулятора. В учебнике рассматривается
калькулятор операционной системы Windows.
При изучении математики вам предстоит строить много
графиков. В некоторых случаях работу в тетради полезно
совмещать, а иногда и заменять работой на компьютере в од­
ной из компьютерных программ построения и исследования
графиков функций и уравнений. Такие программы свободно
и бесплатно распространяются в Интернете. Мы рекоменду­
ем две русифицированные программы GeoGebra и WinPlot.
В тексте учебника рекомендация использовать какую-ни­
будь компьютерную программу обозначается символом £jj|.
Выполненные в этих программах решения задач красивы
и наглядны. Многие из них размещены школьниками и учи-

е

телями математики в Интернете, где их можно поискать. На­
деемся, что и ваши решения можно будет там найти.
Вместе с основным материалом, изучение которого обяза­
тельно, в учебнике есть и дополнительный материал, знаком­
ство с которым желательно. Начало дополнительного мате­
риала обозначается «Т », а конец «Д ».
В разделе «Основные формулы» в конце учебника вы мо­
жете найти нужную формулу.
Решив задачу, сравните свой ответ с ответом в учебнике.
Если выполнить задание вы не можете, то прочитайте совет к
задаче или посмотрите её решение. В этом вам помогут разде­
лы «Ответы», «Советы» и «Решения».
Каждый пункт учебника завершается контрольными воп­
росами и заданиями, а к главам учебника предлагаются до­
машние контрольные работы с указанием примерного време­
ни, на которое рассчитано их выполнение.
Задания домашних контрольных работ разбиты на три
уровня, которые соответствуют удовлетворительной, хоро­
шей и отличной оценке, так что вы сами сможете оценить
свои математические достижения.
Если вы можете ответить на контрольные вопросы, справ­
ляетесь с контрольными заданиями и выполнили домашнюю
контрольную работу, значит, материал вами усвоен.
В конце учебника имеется предметный указатель, особен­
но полезный при повторении.
В учебник не вошли многие важные и интересные матема­
тические вопросы, поэтому для тех, кто интересуется мате­
матикой, в справочном разделе учебника имеется список до­
полнительной литературы и интернет-ресурсов.

эо

/

ж т * '.

Pfl

Глава 1

1Н

. г

НЕПРЕРЫ ВНОСТЬ
И ПРЕДЕЛЫ Ф УНКЦИИ
В первом пункте этой главы речь пойдёт о различии между
описательно-интуитивными и строгими математическими
определениями, во втором пункте вы познакомитесь с важ­
нейшим математическим понятием предела функции, а в
третьем пункте вычисление пределов позволит более точно
строить графики функций.

ю

1. Непрерывность функции

В 10 классе вы познакомились с терминами «непрерывность
функции», «промежуток непрерывности функции» и «точка
разрыва функции». На рисунке 1 изображён график непре­
рывной функции у —х 2.
1 при х > 0,
0 при х = 0, (рис. 2),
- 1 при х < 0
известная в м атем атике к а к ф ункц ия у = sign х 1, имеет
разрыв в точке х = 0.

1

■
т
н
1

У1_

\

/
Г
/
/ = .21

У,

/

7Г-

V
л
1

V\

/
Г
0

Рис. 1

1

7
/

-У

S g

X

0
1

i:

X
Р и с. 2

1 Функция сигнум (sign — сокращение латинского слова sigпит — знак) была введена немецким математиком, иностранным
членом-корреспондентом Петербургской академии наук Л. Кронекером в 1878 г.

О

Глава 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ

Первый из графиков можно изобразить, не отрывая каран­
даш от бумаги, а при изображении второго карандаш придёт­
ся оторвать. Именно на этом основывалось начальное пред­
ставление о непрерывности функций, которым вы пользова­
лись в 10 классе. Так, в частности, свойство сохранять знак,
которым обладает непрерывная функция, не обращающаяся
в нуль на промежутке, позволяло решать неравенства мето­
дом интервалов.
Пример 1 . Решить неравенство

х 2 - Зх - 4

log2( 2 x + 3) - 3

^ 0.

Р е ш е н и е .

(Т) Найдём границы промежутков знакопостоянства
функции, заданной левой частью неравенства. К этим грани­
цам относятся нули числителя, нуль знаменателя, и, конеч­
но, сами промежутки должны входить в ОДЗ неравенства (об­
ласть допустимых значений переменной х).
ОДЗ: log2 (2х + 3) - 3 * 0,

[ 2х + 3 > 0,
I 2х + 3 * 8 ,

[х>-1,5,
j х * --">