Караламбос Д. Алипрантис , Субир К. Чакрабарти - Игры и принятие решений

автомобилей с завода составляет фиксированную величину в
100 долл, и 80 долл, дополнительно за каждую машину. Сколько раз в год
и какой объем партии следует заказывать, чтобы минимизировать годовые
расходы на создание и хранение запасов!
Чтобы сформулировать соответствующую задачу оптимизации, обозначим
через х объем партии заказа (конечно, х > 0). Тогда количество заказов будет
равным 200/х. Поскольку стоимость заказа партии объемом х составляет
величину 100 + 80х, совокупная стоимость всех заказов будет равна
ллл ол х 200 20 000 1ГПЛП
(100 + 80х) х----- =---------- +16 000 долл.
X
X
С другой стороны, будем предполагать, что из х машин в среднем по­
ловина находится на хранении, так что годовая стоимость складирования
составит 100 х у = 50х долл. Таким образом, совокупные издержки владельца

автосалона за год составят
х
20 000 1 0 . ■
Упражнения
1. По эмпирическим данным компанией был оценен спрос на опреде­
ленный продукт:
D(p) = 120 - 2jp ,

где р — цена продукта в долларах. Сформулируйте оптимизационную
задачу для компании, максимизирующей выручку по цене продукта р.
[Ответ: R(p) = 120р-2р3/2.]
2. Производитель телевизоров определил, что для продажи х телевизоров
цену нужно установить равной

р = 1200-х.
Издержки при производстве х телевизоров составляют

С(х) = 4000 + ЗОх .
Сформулируйте оптимизационную задачу для максимизации прибыли
производителя. [Ответ: Р(х) = -х2 -ь 1170х — 4000 .J
3. Вы заходите в цветочный магазин с 20 долларами в кармане и плани­
руете потратить все деньги на букет из гвоздик и роз. Каждая гвоздика
стоит 1 долл., роза — 3 долл. Пусть ваше удовлетворение описывает­
ся функцией полезности и(х,у) = х2у3 (где х — количество гвоздик,
20

ГЛАВА 1. ВЫБОР

у — количество роз в букете). Решение какой оптимизационной задачи
даст наиболее удовлетворительный для вас букет?
4. Владелец магазина электроники прогнозирует, что будет продавать
каждый год 6000 батарей для калькуляторов. Стоимость каждой ба­
тарейки 0,25 долл. Издержки, связанные с заказом каждой новой
партии батареек, составляют 20 долл. Хранение батарейки в течение
года стоит 0,96 долл. Предположите, что владелец магазина размещает
в год п заказов, так что размер х партии батареек при каждом заказе
равен 6000/л. Сформулируйте соответствующую задачу оптимизации
в терминах размера партии, минимизирующего готовые издержки соб­
ственника магазина. [Ответ: владелец магазина должен минимизировать
,
z-v ч а „о
120 000 ,_ЛЛ ,
функцию издержек С(х) - 0,48х + —-— +1500 .]

1.3. Условия первого и второго порядка
Решение оптимизационной задачи тесно связано со скоро­
стью изменения целевой функции. Скорость изменения функции известна в
математике как производная функции. Производной функции f \
R в
точке с е {а, Ь) называется предел (если он существует)

f (с) = lim
*-»
на £: Ц
£2 когда и(Ц)>и(1Д), которое должно удовлетворять трем вы­
шеперечисленным свойствам. В частности, ожидаемая функция полезности
Еи :£-э R индивида с элементарной функцией и на богатстве, определенная
для каждой лотереи £ = {(w1,/?1),(w2,p2),...,(w„,p„)}правилом
•

£//(£) = £p,zz(w,.),

)
(*

1=1

порождает такое предпочтение.
Напомним теперь, что функция полезности U: £-э R представляет собой
отношение предпочтения > на £, если £, > £2 имеет место тогда и только
тогда, когда {ДЬ^иЩ). Рассмотрим следующий вопрос.
47

ИГРЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

•

Каким дополнительным условиям «рациональности» должно удовлетворять
отношение предпочтения, для того чтобы гарантировать существование
представляющей его функции ожидаемой полезности вида (*)?

Для существования представляющей данное отношение предпочтения
ожидаемой функции полезности необходимо выполнение двух дополни­
тельных условий.
(1) Независимость: если
£2 и 0 < р < 1, то для любой лотереи £3 ло­
терея рЦ + (1 - р)Ц не хуже, чем лотерея рЦ + (1 - р)Ц, или
РЦ + С - Р)Ц

Р4 + 0 - Р)Д '•

(2) Непрерывность: для любых трех лотерей Lx, L, и L3 множества
Ц},

{ае[0,1]:аД

{pe[O,IJ: Zg >р£, +(l-p)Z^}
— замкнутые подмножества интервала [0,1].
Следующий пример иллюстрирует аксиому независимости.
Пример 1.21. Рассмотрим лотереи

£, ={(6,1)}, L, ={(3,|}(6,
Лотерею Lx можно трактовать как описывающую ситуацию, когда некто
покупает актив, приносящий гарантированный доход в 6%, и другую лотерею
(Л2), описывающую, что случится при покупке актива, приносящего 3%, 6%
либо --">