Караламбос Д. Алипрантис , Субир К. Чакрабарти - Игры и принятие решений

интервале [-1,°°), где г = -1 является тем
значением доходности, при котором богатство индивида обращается в нуль.
52

ГЛАВА 1. ВЫБОР

1.6.2. Приложение теоремы
об ожидаемой полезности

В этом подразделе мы представим несколько приложений
теоремы об ожидаемой полезности.

Пример 1.27 (приложение к страхованию). Предположим, что индивид
владеет домом стоимостью И7 долл. Существует некоторая вероятность р того,
что дом будет разрушен в результате пожара или наводнения. Предположим
также, что индивид может приобрести страховку — право, при наступлении
страхового случая, на возмещение (покрытие) ущерба в размере (каждого)
доллара по цене х долларов. Здесь х является страховой премией. На по­
крытие какой величины возможного ущерба (или просто, на какую сумму)
застрахуется индивид?
В общем случае индивид будет страховаться в соответствии со своим от­
ношением к риску (т.е. в соответствии со своей функцией полезности n(w))
и стоимостью страхования (ценой страховки). Мы ожидаем, что индивид
выберет оптимальный размер страховки.
Формально мы представляем этот выбор индивида как выбор, максими­
зирующий ожидаемую полезность от его (случайного) богатства. В основе
его выбора лежит теорема об ожидаемой полезности. Таким образом, размер
страховки (размер покрытия ущерба) q, который будет выбран индивидом,
должен максимизировать его ожидаемую полезность:

E(q) = Eu(q) = pu(q - xq) + (1 - p)u(W - xq).

(*)

Формула объясняется следующим образом. Если дом будет разрушен, то
владелец получит возмещение (части) ущерба в размере q за вычетом своего
страхового взноса xq, в целом сумму в q - xq долларов. Поскольку вероятность
от величины богатства в случае разрушения дома равна р, то ожидаемая по­
лезность богатства в случае разрушения дома составляет величину pu(q - xq).
С другой стороны, с вероятностью 1 - р дом останется целым, и ожидаемая
полезность в таком случае окажется равной (1 - p)u(W - xq).
Заметим, что функция и не определена для отрицательных значений
W
богатства, поэтому из (*) следует, что W - xq > 0 , или q < — . Выполнение
этого неравенства гарантирует, что областью определения функции E{q) в

Г

данном случае является замкнутый интервал 0,— .
Теперь предположим, что W- 100 000 долл., р = 0,01 и х = 0,02. Как мы
сейчас увидим, метод оптимизации E(q) зависит от типа индивида. Проана­
лизируем ситуацию отдельно для каждого из трех случаев.

Случай I. Индивид является рискофобом с функцией полезности u(w) - 4w .
53

ИГРЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

В данном случае из (*)

следует, что

Е(^) = pj(l-x)q + (1 - p)J(W - xq) =
= 0,01 х >/0,98g + 0,99 х /IK-0,02g -

= 0,01[>/0,98g + 99 х ■7(ИЛ-0,02g)].

График функции E(q) показан на рис. 1.11. Вычислим теперь производ­
ную этой функции:
E'(q) = 0,01

0,98
2>/0,98g

99x0,02

1,98
J(W-0,Q2q)

2-7(И/-0,02g)

Приравнивая ее нулю, E\q) - 0 , получим следующее уравнение относи0,98
1,98
тельно q:
. Возведя обе части этого уравнения в квадQ
yl(W-0,02q)
0,98 _ (1,98)2
рат, получим, что
или 0,98(ГК — 0,02g) = 3,9204g . Теперь,
q
IT-0,02g
положив W- 100 000, получим 98 000-0,019g = 3,9204g или 3,94g = 98 000.
..
98 000
Или g = ' з ^4 = 24873,10 долл.

Случай II. Индивид является рискофилом с функцией полезности u(w) = w2.
Вычислим ожидаемую полезность из (*):

Е(д) = 0,01 (0,98д)2 + 0,99(

- 0,02д)2 =

= 0,01[0,9604д2 + 99(1К2 -0,041Гд + 0,0004д2)] = 0,01(д2 - 3,96И4? + 991F2).

График этой функции представлен на рис. 1.11. Заметим, что д = 0 явля­
ется точкой максимума E(q), откуда получаем, что агент-рискофил не будет
покупать страховку.
Случай III. Индивид нейтрален к риску и имеет функцию полезности
u(w) = w.

Рис. 1.11. Индивид с неприятием риска (а); индивид с положительным отношением к

риску (б); нейтральный к риску индивид (в)
54

ГЛАВА 1. ВЫБОР

Ожидаемая полезность здесь имеет вид
£( --">