Автор Неизвестен - Задачи по геометрии

úÁÄÁÞÉ ÐÏ ÐÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ
ëÕÒÓ ÐÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ (ò. ë. çÏÒÄÉÎ) ÓÏÓÔÏÑÌ ÐÏÞÔÉ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÉÚ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ. ðÒÉÈÏÄÑ
× ËÌÁÓÓ, ÛËÏÌØÎÉËÉ ÕÖÅ ÇÏÄ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ, ÎÏ ÐÏ ÒÁÚÎÙÍ ÕÞÅÂÎÉËÁÍ É × ÒÁÚÎÏÊ
ÓÔÅÐÅÎÉ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ×Ó£ ÎÁÞÉÎÁÌÏÓØ ÓÎÁÞÁÌÁ.

184

119. ðÏ×ÔÏÒÅÎÉÅ. éÚÍÅÒÅÎÉÅ ÏÔÒÅÚËÏ× É ÕÇÌÏ×

119.1.

îÁ ÐÒÑÍÏÊ ×ÙÂÒÁÎÙ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ

þÅÍÕ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ
119.2.

A, B, C É D, ÐÒÉÞÅÍ AB 1, BC 2, CD 4.

AD? õËÁÖÉÔÅ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ.

îÁ ÄÅÒÅ×ÑÎÎÏÊ ÌÉÎÅÊËÅ ÏÔÍÅÞÅÎÙ ÔÒÉ ÄÅÌÅÎÉÑ:

=

=

=

0, 7 É 11. ëÁË ÏÔÌÏÖÉÔØ Ó ÅÅ

8; (Â) 5?
ôÏÞËÁ B ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ AC ÄÌÉÎÏÊ 5. îÁÊÄÉÔÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÅÒÅÄÉÎÁÍÉ
ÏÔÒÅÚËÏ× AB É BC.
÷ ÄÅÒÅ×ÎÅ Õ ÐÒÑÍÏÊ ÄÏÒÏÇÉ ÓÔÏÑÔ ÞÅÔÙÒÅ ÉÚÂÙ A, B, C É D ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 50 ÍÅÐÏÍÏÝØÀ ÏÔÒÅÚÏË ÄÌÉÎÏÊ (Á)
119.3.

119.4.

ÔÒÏ× ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. ÷ ËÁËÏÊ ÔÏÞËÅ ÄÏÒÏÇÉ ÎÁÄÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÌÏÄÅÃ, ÞÔÏÂÙ ÓÕÍÍÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ
ÏÔ ËÏÌÏÄÃÁ ÄÏ ×ÓÅÈ ÞÅÔÙÒ£È ÉÚ ÂÙÌÁ ÂÙ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ?
119.5.

A ÖÉ×ÅÔ 50 ÛËÏÌØÎÉËÏ×, × ÄÅÒÅ×ÎÅ B ÖÉ×ÅÔ 100 ÛËÏÌØÎÉËÏ×. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ
3 ËÉÌÏÍÅÔÒÁ. ÷ ËÁËÏÊ ÔÏÞËÅ ÄÏÒÏÇÉ ÉÚ A × B ÎÁÄÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÛËÏÌÕ, ÞÔÏÂÙ

÷ ÄÅÒÅ×ÎÅ

ÍÅÖÄÕ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ

ÓÕÍÍÁÒÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÐÒÏÈÏÄÉÍÏÅ ×ÓÅÍÉ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ, ÂÙÌÏ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅ?

ôÏÞËÉ A, B, C ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÙ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ; ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ AC BC
m n. îÁÊÄÉÔÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ AC AB É BC AB. (õËÁÖÉÔÅ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ.)
ôÏÞËÁ B ÄÅÌÉÔ ÏÔÒÅÚÏË AC × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 2 1 (ÓÞÉÔÁÑ ÏÔ ÔÏÞËÉ A). ôÏÞËÁ D ÄÅÌÉÔ
ÏÔÒÅÚÏË AB × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 3 2 (ÓÞÉÔÁÑ ÏÔ A). ÷ ËÁËÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÄÅÌÉÔ ÔÏÞËÁ D ÏÔÒÅÚÏË
AB?
éÍÅÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÑÎÎÙÊ ÕÇÏÌØÎÉË Ó ÕÇÌÏÍ × 19. ëÁË ÐÏÓÔÒÏÉÔØ Ó ÅÇÏ ÐÏÍÏÝØÀ ÕÇÏÌ

× 1 ?
þÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÐÒÏ×ÅÌÉ 10 ÐÒÑÍÙÈ, ÐÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁÚÒÅÚÁÌÉ ÐÏ

ÜÔÉÍ ÐÒÑÍÙÍ ÎÁ ÕÇÌÙ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÇÌÏ× ÍÅÎØÛÅ 20 .
119.6.

ÒÁ×ÎÏ

:

:

:

:

119.7.

:

:

119.8.

119.9.

119.10.

(Á) îÁ ÓËÏÌØËÏ ÇÒÁÄÕÓÏ× ÐÏ×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÚÁ ÍÉÎÕÔÕ ÍÉÎÕÔÎÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ? þÁÓÏ×ÁÑ

ÓÔÒÅÌËÁ? (Â) ëÁËÏÊ ÕÇÏÌ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÍÉÎÕÔÎÁÑ É ÞÁÓÏ×ÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ × ÐÑÔØ ÍÉÎÕÔ ÞÅÔ×£ÒÔÏÇÏ? (×)
÷ ÐÏÌÄÅÎØ ÍÉÎÕÔÎÁÑ É ÞÁÓÏ×ÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ ÓÏ×ÐÁÌÉ. ëÏÇÄÁ ÏÎÉ ÓÏ×ÐÁÄÕÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÁÚ? (Ç)
óËÏÌØËÏ ÒÁÚ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÓÕÔÏË ÞÁÓÏ×ÁÑ É ÍÉÎÕÔÎÁÑ ÓÔÒÅÌËÉ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ? ïÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁÚ×£ÒÎÕÔÙÊ
ÕÇÏÌ? ïÂÒÁÚÕÀÔ ÐÒÑÍÏÊ ÕÇÏÌ?
119.11.

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (Á) ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ Ä×ÕÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÐÅÒÐÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ; (Â) ÂÉÓ-

ÓÅËÔÒÉÓÙ Ä×ÕÈ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ.
119.12.

éÚ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÌÉÓÔÅ ÂÕÍÁÇÉ ÐÒÏ×ÅÌÉ ÞÅÔÙÒÅ ÌÕÞÁ, ÄÅÌÑÝÉÈ ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ

ÕÇÌÁ. úÁÔÅÍ ÌÉÓÔ ÒÁÚÒÅÚÁÌÉ ÐÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁÍ ÜÔÉÈ ÕÇÌÏ× ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ ÞÁÓÔÉ (ËÏÔÏÒÙÅ ÔÁËÖÅ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÇÌÁÍÉ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Á ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÇÌÏ× ÏÂÒÁÚÕÀÔ × ÓÕÍÍÅ
ÔÏÖÅ.

180, É Ä×Á ÄÒÕÇÉÈ |

éÚ ÔÏÞËÉ O ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÙÈÏÄÑÔ 4 ÌÕÞÁ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÒÕÇ ÚÁ ÄÒÕÇÏÍ ÐÏ ÞÁÓÏ×ÏÊ
OA, OB, OC É OD. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÕÇÌÏ× AOB É COD ÒÁ×ÎÁ 180. äÏËÁÖÉÔÅ,
ÞÔÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÕÇÌÏ× AOC É BOD ÐÅÒÐÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ.
119.13.

ÓÔÒÅÌËÅ:

185

120. ðÏ×ÔÏÒÅÎÉÅ. ðÒÉÚÎÁËÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

120.1.

òÁ×ÎÙ ÌÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ (Á) ÐÏ Ä×ÕÍ ÓÔÏÒÏÎÁÍ É ÕÇÌÕ; (Â) ÐÏ ÓÔÏÒÏÎÅ É Ä×ÕÍ ÕÇÌÁÍ?

120.2.

ó ÐÏÍÏÝØÀ ÃÉÒËÕÌÑ É ÌÉÎÅÊËÉ ÐÏÓÔÒÏÊÔÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË (Á) ÐÏ ÔÒ£Í ÓÔÏÒÏÎÁÍ; (Â)

ÐÏ Ä×ÕÍ ÓÔÏÒÏÎÁÍ É ÕÇÌÕ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ; (×) ÐÏ ÓÔÏÒÏÎÅ É Ä×ÕÍ ÐÒÉÌÅÖÁÝÉÍ Ë ÎÅÊ ÕÇÌÁÍ.
120.3.

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (Á) × ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÕÇÌÙ ÐÒÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÁ×ÎÙ;

(Â) ÅÓÌÉ Ä×Á ÕÇÌÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, ÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ.
120.4.

íÅÄÉÁÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ×ÙÓÏÔÏÊ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÒÁ×ÎÏ-

ÂÅÄÒÅÎÎÙÊ.
120.5.

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÐÒÏ×ÅÄ£ÎÎÁÑ ÉÚ ×ÅÒ-

ÛÉÎÙ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÅÄÉÁÎÏÊ É ×ÙÓÏÔÏÊ.
120.6.

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÙÓÏÔÁ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÐÒÏ×ÅÄ£ÎÎÁÑ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ,

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÅÄÉÁÎÏÊ É ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÏÊ.

ABC ÍÅÄÉÁÎÁ AM ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÁ ÚÁ ÔÏÞËÕ M ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÒÁ×ÎÏÅ
AM. îÁÊÄÉÔÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎ B É C, ÅÓÌÉ AB = 4, AC = 5.
120.7.

120.8.

÷ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ

âÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÍÅÄÉÁÎÏÊ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ.

ABC É A 0B 0C 0 ÒÁ×ÎÙ Ä×Å ÓÔÏÒÏÎÙ É ÕÇÏÌ: \A = \A 0, AB =
A 0B 0, BC = B 0C 0. ðÒÉ ÜÔÏÍ \C = 80, Á ÕÇÏÌ C 0 ÔÕÐÏÊ. îÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÕ.
120.9.

÷ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÈ

120.10.

óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ É ÄÏËÁÖÉÔÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

(Á) ÐÏ Ä×ÕÍ ËÁÔÅÔÁÍ; (Â) ÐÏ ËÁÔÅÔÕ É ÇÉÐÏÔÅÎÕÚÅ; (×) ÐÏ ËÁÔÅÔÕ É ÏÓÔÒÏÍÕ ÕÇÌÕ.
120.11.

ó ÐÏÍÏÝØÀ ÃÉÒËÕÌÑ É ÌÉÎÅÊËÉ ÐÏÓÔÒÏÊÔÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË (Á) ÐÏ ÕÇÌÕ, ×ÙÓÏÔÅ É

ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÅ, ÐÒÏ×ÅÄ£ÎÎÙÍ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÕÇÌÁ; (Â) ÐÏ ÓÔÏÒÏÎÅ, ÍÅÄÉÁÎÅ, ÐÒÏ×ÅÄ£ÎÎÏÊ Ë
ÜÔÏÊ --">