И. Гроссман , В. Магнус - Группы и их графы

как R , так и 5, а потому
и R П S.
О б р а т и м о с т ь : Если t принадлежит Я П5, то t и, следова­
тельно,
являются элементами как группы R , так и группы 5 .
Таким образом, t~l принадлежит R ПS.
Упр. 28. (а) Сложение является ассоциативной бинарной опе­
рацией на нашем множестве, поскольку (a + i b ) 4 - ( х -f i y ) =»
= (а + х.) + i ( b + у), и если а, 6 , х, у — целые, т о а + х и б + г/ —
также целые числа.
Е д и н и ц а : (a 4 - t'6 ) 4 - 0 = а 4 - / 6 = 0 .4 - (а 4 - t‘6 ).
О б р а т н ы е : - (а 4 - / 6 ) + (—а — ib ) = 0.
(b) З а м к н у т о с т ь : (г + /5 ) + (х 4 - /г/) = (г + х) + /(s + у ),
числа г 4 - х и s 4 - у оба четны, если четны г, s, х,
О б р а т и м о с т ь : (г + /5 ) + (—г — is) = 0 .
Упр. 29. Предположим, что смежные классы гЯ и sH имеют
хотя бы один общий элемент, скажем г/ц = sh2. Тогда
=
= Л2 Л1“ 1 является элементом группы Я и s ~ ]rh = h2h ^ lh пробе­
гает множество всех элементов подгруппы Я, когда Н последова-

реш ения

упраж нений

233

тельно пробегает это множество. Следовательно, из очевидного
равенства s (s““ V /г) = s
или rh — s (h2h~ 1/г), вытекает,
что rH — sH. Таким образом, если два смежных класса имеют
хотя бы один общий элемент, то они совпадают.

Упр. 30. (а) П у с т ь г/ —- смежный класс, г/ = [rju г/г, .. .}Пусть с — rjk (т. е. с принадлежит смежному классу /7). Тогда
смежный
класс
cJ можно
записать
так:
cJ = (rjk)J =*
= {г(/ь/ 1), r(jkj2), ...}. Ho ikiu /fe/2, . . . — это все элементы под­
группы / , только в другом порядке. Таким образом, cJ = г/, как
и утверждалось.
(Ь) Если г 1с принадлежит /, то мы можем записать, что
г 1с = /ft, где /ft — некоторый элемент группы /. Умножая это
равенство слева на г, получаем с — гД, а это показывает, что с
принадлежит смежному классу г/. Таким образом, смежные клас­
сы cJ и г/ совпадают.
Предположим теперь, что смежные классы cJ и г/ совпадают.
Тогда произвольный элемент c j k из cJ равен некоторому элементу
г/п из г/, т. е. c j h = r/m где j k и / п — элементы подгруппы / .
Умножая это равенство слева на г-1 и справа на / J 1, мы полу­
= j J k 1' Так как j k и /„ принадлежат

чаем, что г- 1 с/^ = /п,

подгруппе / , то ей принадлежат и

и j j ^ 1 = г“ ]с.

Упр. 31. Доказательство может быть основано на такой идее:
показать, что если х / и y J — два различных левых смежных
класса группы L, то /дг1 и /г г 1 — два различных правых смежных
класса. Или в противоположной формулировке: если Jx~l и / у 1
совпадают, то x J и y J тоже совпадают. Чтобы убедиться в этом,
предположим, что некоторый элемент из смежного класса J x l
равен некоторому элементу из / у 1, скажем ] \ х ~ 1 = j 2y ~ l. Тогда
х~~{ = / 1"_1/2г/_1 и х - y / J 1/] —у(]’2 1и) является элементом смеж­
ного класса y J . Таким образом, если совпадают смежные классы
J x ~ l и / у 1, то левые смежные классы x J и y J имеют общий
элемент х и, следовательно, также совпадают, так как никакие
два различных смежных класса не имеют общих элементов. По­
этому и соответствующие правые смежные классы различны.
Упр. 32. Левые смежные классы:
К = {/, а, а2}

и

ЬК = {Ь, Ьа, Ьа2}.

и

КЬ = {6, аб, а26}.

Правые смежные классы:

К = {/,

а, а 2}

Так как (Ьа)2 = baba = /, то 6а = а_16-1 = а2Ь. Аналогично
ab = Ьа2. Таким образом, левые и правые смежные классы сов­
падают.

Упр. 33. (а) Замкнутость. Для любых двух элементов из Н
справедливо равенство a ja k = a j + k t Так как / -f- k = n q - f r t где

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

234

и г — целые числа, такие, что 0 ^ г < п, то
= ( a n ) qa r — a r
является элементом из Я.
Обратимость. Если элемент а> принадлежит Я, то a n ~i также
принадлежит Я и a j a n ~ j = а п — I.
(Ь) Если g — порядок группы Я, а п — порядок некоторого
элемента этой группы, то по теореме Лагранжа и по п. (a) g
кратно п. Иными словами, порядок элемента конечной группы
является делителем порядка группы.

q

Упр. 34. (а) Так как g — элемент порядка п и 1 есть еди­
ничный элемент группы «остатков», то g n ss 1 (mod/?), или
g n — 1 = 0 (mod р) .
(Ь) Так как п — порядок элемента g , то число р — 1 должно
быть кратно п (см. упр. ЗЗЬ), скажем р — 1 = kn. Тогда по­
скольку g n = 1 (mod/?), то обязательно ( g n ) k = 1 (mod/?),
т. е. g p ~ l — 1 = 0 (mod /?), или
— 1 кратно р.
Упр. 35. Так как а не кратно р , то а ф 0 (mod/?); следова­
тельно, a = r ( mo d р) , где г — одно из чисел 1, 2, . . . , /? —• 1, и,
значит, а — г
0 (modp). Рассмотрим теперь
а р ~~1 —r p ~ l = (а

— г) ( а р ~ 2 + ар” 3г + ... + гр“ 2).

Так как а — г = 0 (mod р) , то а р ~ х — г р~1 = 0 (mod р) (по мо­
дулю простого числа ab = 0 тогда и только тогда, когда или
--">