Ричард Филлипс Фейнман - 2a. Пространство. Время. Движение
Название: | 2a. Пространство. Время. Движение | |
Автор: | Ричард Филлипс Фейнман | |
Жанр: | Физика | |
Изадано в серии: | Фейнмановские лекции по физике #2 | |
Издательство: | неизвестно | |
Год издания: | - | |
ISBN: | неизвестно | |
Отзывы: | Комментировать | |
Рейтинг: | ||
Поделись книгой с друзьями! Помощь сайту: донат на оплату сервера |
Краткое содержание книги "2a. Пространство. Время. Движение"
Аннотация к этой книге отсутствует.
Читаем онлайн "2a. Пространство. Время. Движение". [Страница - 2]
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя (36) »
Мы уже сталкивались с уравнением (21.3), когда только начинали изучать механику. Мы решили его численно [см. вып. 1, уравнение (9.12)], чтобы найти движение. Численным интегрированием мы нашли кривую (см. фиг. 9.4, вып. 1), которая показывает, что если частица m в начальный момент выведена из равновесия, но покоится, то она возвращается к положению равновесия. Мы не следили за частицей после того, как она достигла положения равновесия, но ясно, что она на этом не остановится, а будет колебаться (осциллировать). При численном интегрировании мы нашли время возврата в точку равновесия: t=1,570. Продолжительность полного цикла в четыре раза больше: t0=6,28 «сек». Все это мы нашли численным интегрированием, потому что лучше решать не умели. Но математики дали в наше распоряжение некую функцию, которая, если ее продифференцировать дважды, переходит в себя, умножившись на -1. (Можно, конечно, заняться прямым вычислением таких функций, но это много труднее, чем просто узнать ответ.)
Эта функция есть: x=cost. Продифференцируем ее: dx/dt=-sint, a d2x/dt2 =-wt=-x. В начальный момент t=0, x=1, а начальная скорость равна нулю; это как раз те предположения, которые мы делали при численном интегрировании. Теперь, зная, что x=cost, найдем точное значение времени, при котором z=0. Ответ: t=p/2, или 1,57108. Мы ошиблись раньше в последнем знаке, потому что численное интегрирование было приближенным, но ошибка очень мала!
Чтобы продвинуться дальше, вернемся к системе единиц, где время измеряется в настоящих секундах. Что будет решением в этом случае? Может быть, мы учтем постоянные k и т, умножив на соответствующий множитель cost? Попробуем. Пусть x=Acost, тогда dx/dt=-Asint и d2t/dt2=-Acost=-x. К нашему огорчению, мы не преуспели в решении уравнения (21.2), а снова вернулись к (21.3). Зато мы открыли важнейшее свойство линейных дифференциальных уравнений: если умножить решение уравнения на постоянную, то мы снова получим решение. Математически ясно — почему. Если х есть решение уравнения, то после умножения обеих частей уравнения на А производные тоже умножатся на A и поэтому Ах так же хорошо удовлетворит уравнению, как и х. Послушаем, что скажет по этому поводу физик. Если грузик растянет пружинку вдвое больше прежнего, то вдвое возрастет сила, вдвое возрастет ускорение, в два раза больше прежней будет приобретенная скорость и за то же самое время грузик пройдет вдвое большее расстояние. Но это вдвое большее расстояние — как раз то самое расстояние, которое надо пройти грузику до положения равновесия. Таким образом, чтобы достичь равновесия, требуется столько же времени и оно не зависит от начального смещения. Иначе говоря, если движение описывается линейным уравнением, то независимо от «силы» оно будет развиваться во времени одинаковым образом.
Ошибка пошла нам на пользу — мы узнали, что, умножив решение на постоянную, мы получим решение прежнего уравнения. После нескольких проб и ошибок можно прийти к мысли, что вместо манипуляций с х надо изменить шкалу времени. Иначе говоря, уравнение (21.2) должно иметь решение вида
x=cosw0t. (21.4)
(Здесь w0 — вовсе не угловая скорость вращающегося тела, но нам не хватит всех алфавитов, если каждую величину обозначать особой буквой.) Мы снабдили здесь w индексом 0, потому что нам предстоит встретить еще много всяких омег: запомним, что w0 соответствует естественному движению осциллятора. Попытка использовать (21.4) в качестве решения более успешна, потому что dx/dt=-(w0sinw0t и d2x/dt2=-w20wsw0t=-w20x. Наконец-то мы решили то уравнение, которое и хотели решить. Это уравнение совпадает с (21.2), если w20=k/m.
Теперь нужно понять физический смысл w0. Мы знаем, что косинус «повторяется» после того, как угол изменится на 2я. Поэтому x=cosw0t будет периодическим движением; полный цикл этого движения соответствует изменению «угла» на 2p. Величину w0t часто называют фазой движения. Чтобы изменить w0t на 2p, нужно изменить t на t0 (период полного колебания); конечно, t0находится из уравнения w0t0=2p. Это значит, что w0t0 нужно вычислять для одного цикла, и все будет повторяться, если увеличить t на t0; в этом случае мы увеличим фазу на 2p. Таким образом,
Значит, чем тяжелее грузик, тем медленнее пружинка будет --">
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя (36) »
Книги схожие с «2a. Пространство. Время. Движение» по жанру, серии, автору или названию:
Ричард Филлипс Фейнман - Фейнмановские лекции по физике 5b Жанр: Физика Серия: Фейнмановские лекции по физике |
Ричард Филлипс Фейнман - Фейнмановские лекции по физике 4 Жанр: Физика Серия: Фейнмановские лекции по физике |
Ричард Филлипс Фейнман - 3. Излучение. Волны. Кванты Жанр: Физика Серия: Фейнмановские лекции по физике |
Ричард Филлипс Фейнман, Роберт Лейтон, Мэттью Сэндс - Том 2. Электромагнетизм и материя Жанр: Физика Серия: Фейнмановские лекции по физике |
Другие книги из серии «Фейнмановские лекции по физике»:
Ричард Филлипс Фейнман - Фейнмановские лекции по физике 6a Жанр: Физика Серия: Фейнмановские лекции по физике |
Ричард Филлипс Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук Жанр: Физика Серия: Фейнмановские лекции по физике |
Ричард Филлипс Фейнман - 5b. Электричество и магнетизм Жанр: Физика Серия: Фейнмановские лекции по физике |
Ричард Филлипс Фейнман - 7. Физика сплошных сред Жанр: Физика Серия: Фейнмановские лекции по физике |