Ричард Филлипс Фейнман - 2a. Пространство. Время. Движение

ко­лебаться взад и вперед. Инерция в этом случае будет больше, и если сила не изменится, то ей понадобится большее время для разгона и торможения груза. Если же взять пружинку пожест­че, то движение должно происходить быстрее; и в самом деле, период уменьшается с увеличением жесткости пружины.

Заметим теперь, что период колебаний массы на пружинке не зависит от того, как колебания начинаются. Для пружинки как будто безразлично, насколько мы ее растянем. Уравнение движения (21.2) определяет период колебаний, но ничего не го­ворит об амплитуде колебания. Амплитуду колебания, конеч­но, определить можно, и мы сейчас займемся этим, но для этого надо задать начальные условия.

Дело в том, что мы еще не нашли самого общего решения уравнения (21.2). Имеется несколько видов решений. Реше­ние x=acosw0t соответствует случаю, когда в начальный мо­мент пружинка растянута, а скорость ее равна нулю. Можно иначе заставить пружинку двигаться, например улучить момент, когда уравновешенная пружинка покоится (х=0), и резко ударить по грузику; это будет означать, что в момент t=0 пружинке сообщена какая-то скорость. Такому движению будет соответствовать другое решение (21.2) — косинус нужно заменить на синус. Бросим в косинус еще один камень: если x=cosw0t—решение, то, войдя в комнату, где качается пружин­ка, в тот момент (назовем его «t=0»), когда грузик проходит через положение равновесия (x=0), мы будем вынуждены заме­нить это решение другим. Следовательно, x=cosw0t не может быть общим решением; общее решение должно допускать, так сказать, перемещение начала отсчета времени. Таким свойст­вом обладает, например, решение x=acosw0(t-t1), где t1 — какая-то постоянная. Далее, можно разложить

cos(w0t+D)=cosw0tcosD-sinw0tsinD и записать

x=Acosw0t+Вsinw0t,

где A=acosD и В=-asinD. Каждую из этих форм можно ис­пользовать для записи общего решения (21.2): любое из су­ществующих в мире решений дифференциального уравнения

d²x/dt² =-w²0x можно записать в виде

x=acosw0(t-t1), (21.6а)

или

x=acos(w0t+D), (21.6б)

или

х=Acosw0t+B sinw0t. (21.6в)

Некоторые из встречающихся в (21.6) величин имеют наз­вания: w0 называют угловой частотой; это число радианов, на которое фаза изменяется за 1 сек. Она определяется дифферен­циальным уравнением. Другие величины уравнением не опре­деляются, а зависят от начальных условий. Постоянная а слу­жит мерой максимального отклонения груза и называется ам­плитудой колебания. Постоянную D иногда называют фазой колебания, но здесь возможны недоразумения, потому что другие называют фазой w0t+D и говорят, что фаза зависит от времени. Можно сказать, что D — это сдвиг фазы по сравнению с некоторой, принимаемой за нуль. Не будем спорить о словах. Разным D соответствуют движения с разными фазами. Вот это верно, а называть ли D фазой или нет — уже другой вопрос.

§ 3. Гармоническое движение и движение по окружности

Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изуча­ли механику движения по окружности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью v, то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол q=vt/R (фиг. 21.2).

Фиг. 21.2. Частица, движу­щаяся по кругу с постоянной скоростью.

Тогда dq/dt=w0=v/R. Известно, что ускоре­ние а=v²/R=w²0R и направлено к центру. Координаты движу­щейся точки в заданный момент равны

х=Rcosq, y=Rsinq.

Что можно сказать об ускорении? Чему равна x-составляющая ускорения, d²x/dt². Найти эту величину можно чисто гео­метрически: она равна величине ускорения, умноженной на ко­синус угла проекции; перед полученным выражением надо пос­тавить знак минус, потому что ускорение направлено к центру:

ах=-acosq=-wRcosq=-w²0х. (21.7)

Иными словами, когда частица движется по окружности, гори­зонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропор­циональное горизонтальному смещению от центра. Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: x=Rcosw0t. Уравнение (21.7) не содержит радиуса --">