Ричард Филлипс Фейнман - 6. Электродинамика

title="Книгаго, чтение книги «6. Электродинамика» [Картинка № 9]">

(15.5)

Только в (15.5) электрическая энергия — и вправду энергия, а Uмехв (15.4) — не настоящая энергия. Но все равно ее можно применять для расчета сил по принципу виртуальной работы. Надо только предполагать, что ток в петле (или по крайней мере магнитный момент m) остается неизменным при повороте.

Для нашей прямоугольной петли можно показать, что Uмех соответствует также работе, затрачиваемой на то, чтобы внести петлю в поле. Полная сила, действующая на петлю, равна нулю лишь в однородном поле, а в неоднородном все равно останутся какие-то силы, действующие на токовую петлю. Внося петлю в поле, мы вынуждены будем пронести ее через места, где поле неоднородно, и там будет затрачена работа. Будем считать для упрощения, что петлю вносят в поле так, что ее момент направлен вдоль поля. (А в конце, уже в поле, ее можно повер­нуть как надо.)

Вообразите, что мы хотим двигать петлю в направлении x, т. е. в ту область, где поле сильнее, и что петля ориентирована так, как показано на фиг. 15.2. Мы отправимся оттуда, где поле равно нулю, и будем интегрировать силу по расстоянию по мере того, как петля входит в поле.

Фиг. 15.2. Петлю проносят через поле В (поперек него) в направлении x.

Рассчитаем сначала работу переноса каждой стороны по отдельности, а затем все сложим (вместо того, чтобы складывать силы до интегрирования). Силы, действующие на стороны 3 и 4, направлены поперек движения, так что на эти стороны работа не тратится. Сила, действующая на сторону 2, направлена по x и равна 1bВ(x); чтобы узнать всю работу против действия магнитных сил, нужно проинтегрировать это выражение по x от некоторого значения х, где поле равно нулю, скажем, от х = -Ґ до теперешнего положения х2:

(15.6)

Подобно этому, и работа против сил, действующих на сторону 1,равна

(15.7)

Чтобы вычислить каждый интеграл, надо знать, как В(х) зависит от х. Но ведь сторона 1 при движении рамки распо­ложена все время параллельно стороне 2 на одном и том же расстоянии от нее, так что в ее интеграл входит почти вся работа, затраченная на перемещение стороны 2. Сумма (15.6) и (15.7) на самом деле равна

(15.8)

Но, попав в область, где В на обеих сторонах 1 и 2 почти оди­наково, мы имеем право записать интеграл в виде

где В — поле в центре петли. Вся вложенная механическая энергия оказывается равной

Это согласуется с выражением для энергии (15.4), выбранным нами прежде.

Конечно, тот же вывод получился бы, если бы мы до инте­грирования сложили все силы, действующие на петлю. Если бы мы обозначили через В1поле у стороны 1 а через В2— поле у стороны 2, то вся сила, действующая в направлении х, оказа­лась бы равной

Если петля «узкая», т. е. если В2и В1не очень различаются между собой, то можно было бы написать

Так что сила была бы равна

(15.10)

Вся работа, произведенная внешними силами над петлей, рав­нялась бы