Гарольд Джеффрис , Берта Свирлз - Методы математической физики

произвольная
уравнения имеет вид
Л

функция. О бщ е е решение вол н ов о г о

Я

Ф=

f (л: sin м cos о - f г/ sin « sin о -Ь 2 cos и + ct, и, и) du dv.
-i

-я

Эти решения м огут быть п реобр а зова ны к д р у г о м у виду больш им
числом различных сп о со б о в . И х многочисленные применения
даны в книге Уиттекера и Ватсона [3].
18.02.
К риволинейны е коор ди н аты . Для др угих форм гра­
ницы решение вида 18.01 (4) применимо в редких случаях,
тогд а как о бщ ее решение Уиттекера м ож ет быть использовано
после соот в етс тв у ю щ ег о п реобразования координ ат. С другой
стор он ы , представляя функцию ф в виде
Ф = / ( х , г/, г ) Г ,

(1)

мы получим
I

(о

_ L i!Z :
сЧ

dfi ’

T

dt )

(2)

В зависимости от того, рассматриваем ли мы уравнение Л апласа,
вол н овое уравнение или уравнение теплопроводности. О б е части
равенства (2) д о л ж н ы бы ть постоянными, и уравнение приво­
дится к виду
V 2 /= -x 2 f.
(3)
Э то уравнение д о л ж н о быть решено для заданных граничных
условий. Заметим теперь, что в ол н овое уравнение для непре­
рывной среды м о ж н о рассматри вать как предельный случай
уравнений движения системы близких д р у г к д р у г у частиц,
о б р а з у ю щ и х устойч ивую решетку. П о э т о м у , полагая Т =
мы заключаем, что все в о з м ож н ы е значения
для нормальных
колебаний являются действительными отрицательными чнслами.
При тех ж е граничных значениях функции f { x , у, z) все
значения у ДЛя с в о б о д н о г о потока тепла б у д у т действительны
и отрицательны. Определение решения при данных начальных
у сл овиях сводится, таким о б р а з о м , к представлению общ ей
функции f через собственные функции уравнения (3). Временной
ф актор во всех случаях м ож ет быть выделен в виде мнолс^ = 0 для задач теории потенциала. В связи с этим вре­
менной фактор не бу дет явно выписываться, п оскольку он м о ж е т
бы ть введен в конце вычисления.
Уравнение (3) доп уска ет разделение переменных для несколь­
ких систем координ ат, отличных о т д ек а р т овы х . В общ ем случае
ортогональны х криволинейных коор ди н ат g,,
1з элементы
длины dsi, ds 2 , d s 3 , соот в етс тв у ю щ и е малым приращениям d h ,
d%2 , dl3, равны h i d h , h^dl^, h d l ^ .
Согласно лемме Грина,
S^^dx--

dS.

(4)

Применим это соотнош ение для м алого объем а, ограниченного
поверхностями
= ?20 ±
Н а поверхности, где

постоянно, выполняется соотнош ение
(5ф _

здесь /г — направление
поверхности

равен

элементу равен

^3 = 1з0 ± 4" ^Ез*

Зф

возрастания

t u h id lid l^ .

,

(5)
|i. Элемент площ ади этой

О т сю д а

по

такому

f ГГ
4 ^ d ^2 dl^. Д в е поверхности, заданные
J J J п\

уравнениями |1 = ^ ю ± у б ^ 1, д а д у т в э т о т интеграл вклад

п оскольку для поверхности с больш им значением
внешняя
нормаль направлена в ст ор о н у возрастания |i, тогда как для
меньшего значения
она направлена в ст ор он у убывания
Интеграл в правой части равенства (4) является суммой таких
выражений для трех пар п роти в опол ож н ы х граней. Элемент
объ ем а равен /г1/г2Лз
+ о №i
П оэтом у
и V72
д ( Л2Л3 ^31. ^12 равны нашим удвоенным.
18.03. Цилиндрические к оор ди н аты . Пусть
w^ = x^ + / , % = arctg {yjx).
In й -h i% = In (л: + iy).

(1)
(2)

П олож им
I i = l n w , |г = ^. x + iy = e^'+^^\

= |х + гг/Р =

(3)

Тогда
А

--">