Лев Давидович Ландау , Евгений Михайлович Лифшиц - Теоретическая физика в 10т. Т.1. Механика

движения имеется 2п степеней сво­
боды, из которых две поступательные и одна вращательная, то
число нормальных колебаний, не выводящих атомы из плоско­
сти, равно 2п —3. Остальные же (Зп —6) —(2п —3) = п —3 коле­
бательных степеней свободы отвечают колебаниям, выводящим
атомы из плоскости.
В случае линейной молекулы можно различать продольные
колебания, сохраняющие ее прямолинейную форму, и колеба­
ния, выводящие атомы с прямой. Так как всего движению п
частиц по линии отвечает п степеней свободы, из которых од­
на поступательная, то число колебаний, не выводящих атомы с
прямой, равно п —1. Поскольку же полное число колебаний сте­
пеней свободы линейной молекулы есть Зп —5, то имеется 2п —4
колебаний, выводящих атомы с прямой. Этим колебаниям, од­
нако, отвечают всего п — 2 различные частоты, так как каждое
из таких колебаний может осуществляться двумя независимы­
ми способами — в двух взаимно перпендикулярных плоскостях
(проходящих через ось молекулы); из соображений симметрии
х) См. т. III, «Квантовая механика», § 100.

97

КОЛЕБАНИЯ МОЛЕКУЛ

очевидно, что каждая такая пара нормальных колебаний имеет
одинаковые частоты.
З а д а ч и 1)
1.
Определить частоты колебаний линейной трехатомной симметрич­
ной молекулы А В А (рис. 28). Предполагается, что потенциальная энергия
молекулы зависит только от расстояний А — В и В — А й угла АВ А.
Р е ш е н и е . Продольные смещения атомов Х 1 , Х 2 , х з связаны в силу
(24.1) соотношением
г п а (х г

+ х з ) + т в х 2 = 0.

С его помощью исключаем х 2 из функции Лагранжа продольного движения
молекулы
Т

Г П А , . 2 I -2ч

L = -^ -(^ 1 +

Хз)

, т в

+

.2

ki и

ч2

- у № - XV

| /

+ (Х з -

ч2-|

Х2 )

J,

после чего вводим новые координаты
Qoc = х 1 + хз,

Q s = х 1 - хз.

В результате получим

Т _ГПАЦД2 . ГПАХ2 &1Ц2 2 &1 2
+ ~ r Qs ~ щ ; Яа ~ t Q s

L ~

(ц = 2г п а + тп в — масса молекулы). Отсюда видно, что Q a и Q s являются
(с точностью до нормировки) нормальными координатами. Координата Q a
отвечает антисимметричному относитель­
но середины молекулы колебанию {х\ = хз\
3 1
2 I
1
рис. 28 а) с частотой
•
°
•
А
В
А
_____

ki\i

ГПАГПв

Координата Q s соответствует симметричному (х\ = —хз] рис. 28 5) колебанию с частотой
___

----^ -о------------• >» а
J
т----------- ^----------- J

О,., = . [ К _

б
в

Рис. 28

VГПА

Поперечные смещения атомов у г , у 2 , у з в силу (24.1) и (24.2) связаны
соотношениями
г п а ( у 1 + у з ) + ГПВУ2 = 0 ,

У1 = Уз,

(симметричное колебание изгиба; рис. 28 в). Потенциальную энергию изги­
ба молекулы запишем в виде Л?2 Z262/2 , где 6 — отклонение угла А В А от
значения 7t; оно выражается через смещения согласно
6 = у [(г/1 - 2/2) + (уз - У2 )].

х) Расчеты колебаний более сложных молекул можно найти в книгах:
М. В. В о л ь к е н ш т е й н , М. А. Е л ь я ш е в и ч , Б. И. С т е п а н о в .
Колебания молекул.—М.: Гостехиздат, 1949; Г. Г е р ц б е р г , Колебатель­
ные и вращательные спектры многоатомных молекул.—М.: ИЛ, 1949.

98

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Выражая все смещения 2/ 1 , 2/2 , 2/з через
поперечного колебания в виде
т

ТПА,.2 , • 2\ , ГПв .2

6

ГЛ. V

, получим функцию Лагранжа

^2^2 s2

ТПАТПВ -.2ё2

&2^ = у [ ( ж 1 ~ ж2) cos ос — (у 1 - у 2) sin а] +
В
+ у [—(ж3 —ж2) cos ос — (уз —У2 ) sin а].
Функция Лагранжа молекулы

ГПА ((ui
. 2 +. u3)
ГПВ u2
.2 •2\ +. —

г

L = —

Вводим новые координаты

Рис. 29

qs2

Q a = x 1 + Х з , 2*1 = X! - Хз ,

=

2/i + 2/3-

Компоненты векторов и выражаются через них согласно
Xl = ~ (Q а + --">