Лев Давидович Ландау , Евгений Михайлович Лифшиц - Теоретическая физика в 10т. Т.1. Механика

•

Уравнения движения:
(m i + ш 2)/ 1 ф 1 + Ш2 / 2 Ф2 + (m i + m 2)g(pi = О,
к'фг

+ / 2Ф2

+gф

2

= 0.

После подстановки (23.6):
Ai(m i +

m 2)(g

—hco2) — А 2со2т 2к = 0,

—A i l i w 2 + А 2 ( g

I 2 C0 2 ) =

0.

Корни характеристического уравнения:

g, , ((mi +m2)(/i +i2) ±

Ш1,2 1 9Z 777-1

±

(m i + m 2)[(m i + m 2)(Zi + /г)2 - 4 m i/i/2] [•

При m i —»• оо частоты стремятся к пределам y / g / h и y j g / h , соответству­
ющим независимым колебаниям двух маятников.
3. Найти траекторию движения частицы в центральном поле U = кг 2/ 2
(так называемый пространственный осциллятор).
Р е ш е н и е . Как и во всяком центральном поле, движение происхо­
дит в одной плоскости, которую выбираем в качестве плоскости ху. Изме­
нение каждой из координат х , у — простое колебание с одинаковыми часто­
тами со = у/ к / т:
х = a cos (cot + а), у = 6 cos (cot + (3)
или
х = a cos ср,

у = b cos (ср + 6) = b cos 6 cos (р — b sin 6 sin cp,

где введены обозначения (р = cot + ос, 6 = (3 — ос. Определив отсюда cos (р и
sin (р и составив сумму их квадратов, получим уравнение траектории
х2

у2

2х у

.

2

а2 + тк
о2 ----abr cos ° = sin

,

Это — эллипс с центром в начале координат 1) . При 6 = 0 или тс траектория
вырождается в отрезки прямой.
г) Тот факт, что в поле с потенциальной энергией U = к г 2/2 движение
происходит по замкнутой прямой, был уже упомянут в § 14.

КОЛЕБАНИЯ МОЛЕКУЛ

95

§ 24. Колебания молекул
Если мы имеем дело с системой частиц, взаимодействующих
друг с другом, но не находящихся во внешнем поле, то не все
ее степени свободы имеют колебательный характер. Типичным
примером таких систем являются молекулы. Помимо движений,
представляющих собой колебания атомов около их положения
равновесия внутри молекулы, молекула как целое может совер­
шать поступательное и вращательное движения.
Поступательному перемещению соответствуют три степени
свободы. Столько же имеется в общем случае вращательных
степеней свободы, так что из 3п степеней свободы п-атомной
молекулы всего Зп —6 отвечают колебательному движению. Ис­
ключение представляют молекулы, в которых все атомы распо­
ложены вдоль одной прямой. Поскольку говорить о вращении
вокруг этой прямой не имеет смысла, то вращательных степе­
ней свободы в этом случае всего две, так что колебательных
имеется Зп —5.
При решении механической задачи о колебаниях молекулы
целесообразно с самого начала исключить из рассмотрения по­
ступательные и вращательные степени свободы.
Чтобы исключить поступательное движение, надо считать
равным нулю полный импульс молекулы. Поскольку это условие
означает неподвижность центра инерции молекулы, его можно
выразить в виде постоянства трех координат последнего. Поло­
жив га = гао + иа (где гао — радиус-вектор неподвижного по­
ложения равновесия а-го атома, а иа — его отклонение от этого
положения), представим условие
' Y j T l a T a = C o n s t ЕЕ ^

ТПа Га0

в виде
У ! fflgUg = 0-

(24.1)

Чтобы исключить вращение молекулы, следует положить
равным нулю ее полный момент импульса. Так как момент не яв­
ляется полной производной по времени от какой-либо функции
координат, то условие его исчезновения не может быть, вообще
говоря, выражено в виде равенства нулю такой функции. Одна­
ко случай малых колебаний как раз представляет исключение.
В самом деле, снова положив г а = гао + иа и пренебрегая малы­
ми величинами второго порядка по смещениям иа, представим

96

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ГЛ. V

момент импульса молекулы в виде

м = ^m a[rava] « y ^ m a[ra0ua] = ^

ma[ra0ua].

Условие его исчезновения в этом приближении можно, следова­
тельно, представить в виде
5 ^ m a[ra0u a] = 0
(24.2)
(начало координат может быть при этом выбрано произвольным
образом).
Нормальные колебания молекулы могут быть классифици­
рованы по характеру движения атомов в них на основании сооб­
ражений, связанных с симметрией расположения атомов
(в положениях равновесия) в молекуле. Для этой цели существу­
ет общий метод, основанный на использовании теории групп; он
изложен в другом томе этого курса х). Здесь же мы рассмотрим
лишь некоторые элементарные примеры.
Если все п атомов молекулы лежат в одной плоскости, то
можно различать нормальные колебания, составляющие атомы
в этой плоскости, и нормальные колебания, при которых атомы
выводятся из плоскости. Легко определить число тех и других.
Так как всего для плоского --">