Игорь Евгеньевич Иродов - Задачи по квантовой физике

cosJ),

(1.6)

где lC = 2ph/mc — комптоновская длина волны частицы.
l Угол J, на которой заряженная частица рассеивается кулоновским полем неподвижного ядра, определяется формулой:
tg

J
q q
= d* 1 2 ,
2bK
2

(1.7)
7

где q1 и q2 — заряды взаимодействующих частиц, K — кинетическая
энергия налетающей частицы, b — прицельный параметр.
Здесь и далее d* = 1 (СГС) или 1/4pe0 (СИ).
l Формула Резерфорда для относительного числа частиц, рассеянных в элементарном телесном угле dW под углом J к первоначальному
направлению их движения:
2

dN
dW
æ q q ö
= n ç d* 1 2 ÷
,
4
4
N
K
è
ø sin ( J 2 )

(1.8)

где n — число ядер фольги на единицу площади ее поверхности, K — кинетическая
энегия налетающих частиц, dW = sinJ dJ dj.
l Схема возникновения основных серий
водородоподобных ионов показана на
рис. 1.1.
l Обобщенная формула Бальмера:
æ 1
1 ö
w = RZ 2 çç 2 - 2 ÷÷,
è n1 n 2 ø

R = d*2

me 4
,
2h3

(1.9)

где w — циклическая частота перехода между
состояниями с квантовыми числами n1 и n2,
Рис. 1.1
Z — заряд ядра (в единицах е), R — постоянная Ридберга, m — приведенная масса системы (при me I mя m » me).
l Резонансная линия — спектральная линия, обусловленная переходом атомов из первого возбужденного состояния в основное.

Тепловое излучение. Формула Планка
1.1. Доказать, что энергетическая светимость теплового излучения определяется формулой (1.1).
1.2. Тепловое излучение может быть представлено распределением энергии либо по длинам волн с максимумом при lm,
либо по частотам с максимумом при nm. Показать, что при одной и той же температуре lm < c/nm.
1.3. Воспользовавшись формулой Вина, показать, что:
а) наиболее вероятная частота теплового излучения wm T T;
б) энергетическая светимость M T T4.
1.4. Показать с помощью формулы Вина, что в спектре распределения теплового излучения по длинам волн:
8

а) наиболее вероятная длина волны lm T 1/T;
б) максимальная спектральная плотность энергии пропорциональна T5.
1.5. В результате расширения Вселенной после Гигантского
Взрыва возникшее электромагнитное излучение (его называют
реликтовым) имеет вид теплового излучения с максимумом испускательной способности при длине волны lm = 1,07 мм. Какова температура этого излучения?
1.6. Начальная температура теплового излучения Т = 2000 К.
На сколько кельвинов изменилась эта температура, если наиболее вероятная длина волны в его спектре увеличилась на
Dl = 260 нм?
1.7. При переходе от одной температуры к другой площадь
под кривой функции Кирхгофа ¦(l) уменьшилась в h = 13 раз.
Как и во сколько раз изменилась при этом длина волны, соответствующая максимуму функции ¦(l)?
1.8. Найти наиболее вероятную длину волны в спектре теплового излучения с энергетической светимостью М = 5,7 Вт/см2.
1.9. Солнечный спектр достаточно близок к спектру теплового излучения с наиболее вероятной длиной волны
lm = 0,48 мкм. Найти мощность теплового излучения Солнца.
Оценить время, за которое его масса уменьшится на один процент (за счет теплового излучения). Масса Солнца 2,0 × 1030 кг,
его радиус R = 7,0 × 108 м.
1.10. Имеются две полости 1 и 2 с малыми отверстиями одинакового радиуса r = 5,0 мм и абсолютно отражающими наружными поверхностями. Полости отверстиями обращены друг к
другу, причем расстояние между этими отверстиями l = 100 мм.
В полости 1 поддерживают температуру T1 = 1250 К. Найти
установившуюся температуру в полости 2. Иметь в виду, что абсолютно черное тело является косинусным излучателем.
1.11. Зная, что давление теплового излучения p = u/3, где
u — плотность энергии излучения, найти:
a) давление теплового излучения во внутренних областях
Солнца, где температура T » 1,6 × 107 К;
б) температуру Т полностью ионизированной водородной
плазмы плотностью r = 0,10 г/см3, при которой давление тепло9

вого излучеия равно кинетическому давлению частиц плазмы
(при высоких температурах вещества подчиняются уравнению
состояния для идеальных газов).
1.12. Медный шарик радиусом r = 10,0 мм с абсолютно черной поверхностью поместили в откачанный сосуд, температура
стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю.
Начальная температура шарика T0 = 300 К. Через сколько времени его температура уменьшится в h = 1,50 раза? Удельная
теплоемкость меди с = 0,38 Дж/(г×К).
1.13. Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения:
uw = Aw3e–aw/T,
где a = 7,64 × 10–12 К×с. Найти с помощью этой формулы при
Т = 2000 К:
а) --">