Виталий Афанасьевич Жилкин - Определение геометрических характеристик поперечных сечений брусьев в программных продуктах SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005 и MathCAD: методические указания

повернутой
относительно системы координат yOz на угол α :
y1 = y cos α + z sinα ; z1 = − y sinα + z cos α .
По определению:
2
J y1 = ∫ z1 dF = J y cos 2 α + J z sin 2 α − J yz sin 2α ;

F
(5)

2
J z1 = ∫ y1 dF = J y sin 2 α + J z cos 2 α + J yz sin 2α . 
F

Если сложить выражения (5), получим
J y1 + J z1 = J y + J z = const .

Сумма осевых моментов инерции относительно ортогональных осей есть величина постоянная.
J y1 z1 = ∫ y1 z 1dF =

J y − Jz

sin 2α + J yz cos 2α .
2
Формулы (5) можно переписать в виде:

(6)

F


cos 2α − J yz sin 2α 

2
2

J y + Jz J y − Jz
J z1 =
−
cos 2α + J yz sin 2α .

2
2

J y1 =

J y + Jz

+

J y − Jz

5

(7)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ
ГЛАВНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
Пусть в системе координат yOz известны моменты инерции J y , J z , J xy .
Главными осями сечения, проходящими через данную точку, называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равняется нулю.
Обозначим главные оси цифрами 1 и 2 . Моменты инерции относительно главных осей называются главными и обозначаются J 1 и J 2 , причем J 1 > J 2 .
Моменты инерции относительно главных осей достигают экстремальных значений, т.е. главный момент инерции J 1 есть наибольший из всех моментов инерции
относительно осей, проходящих через данную точку, момент J 2 - наименьший.
Приравняв J xy в формуле (6) нулю, найдём значения углов α 1 и α 2 = α 1 + π / 2 ,
определяющие соответственно положения первой и второй главных осей:
2 J yz
tg 2α 1 , 2 = −
.
(8)
J y − Jz
Положительный угол α 1 следует откладывать от оси y против хода часовой
стрелки.
Главные моменты инерции можно вычислить по формулам (5), подставив в них
углы α 1 и α 2 , но практически удобнее пользоваться формулами, не содержащими
тригонометрических функций:

J max = J 1 =

J y + Jz
2

2

 J y − Jz 
 + J yz2 ;
+ 
 2 

(9)

2

 J y − Jz 
 + J yz2 .
J min = J 1 =
(10)
− 
2
2


Для определения положения главных осей вместо формулы (8) можно применять формулы
J y − J1
J y − J2
tgα 1 = −
, tgα 2 = −
,
(11)
J yz
J yz
J y + Jz

где J 1 и J 2 - главные моменты инерции.
Если оси y и z главные (в сортаменте прокатных профилей они обозначены u
и v ), то формулы (5), (6) и (7) принимают вид

J y1 = J y cos 2 α + J z sin 2 α ;
;
J z1 = J y sin 2 α + J z cos 2 α . 
J y − Jz
J y1 z 1 =
sin 2α ;
2
J y + Jz J y − Jz

J y1 =
+
cos 2α ;

2
2

J y + Jz J y − Jz
J z1 =
−
cos 2α . 

2
2
6

(12)
(13)

(14)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Для равнобоких уголков центробежный момент инерции вычисляется по формуле (13), где J y и J z - главные моменты инерции; α - угол поворота главных осей
до исходных, взятый со знаком плюс или минус.
Обратите внимание, поворачиваются главные оси!
Если при определении по формуле (8) угол α 1 положительный, то при определении по формуле (13) - отрицательный (− α 1 ) .
Для неравнобоких уголков удобно воспользоваться формулами (11), которые
для данного случая примут вид
J y − J1
J y − J2
J y1 z 1 = − 1
; J y1 z 1 = − 1
.
(15)
tgα 1
tgα 2
СВОЙСТВО МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ СИММЕТРИИ
Пусть ось y будет осью симметрии сечения, а ось z ей перпендикулярна (рис.5). В силу
симметрии каждой площадке с положительным
произведением координат справа будет соответствовать площадка с таким же, но отрицательным
произведением координат слева, поэтому
J yz = ∫ yzdF = 0 .

Рис.5

F

Ось симметрии сечения и любая ось ей перпендикулярная, есть главные оси сечения.

СВОЙСТВО МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРАВИЛЬНЫХ ФИГУР
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ

Рис.6
Для правильных фигур (рис.6) J yz = 0 ; J y = J z .
Для квадрата последнее равенство очевидно, так как он одинаково расположен
относительно осей y и z .
Для остальных фигур это можно доказать следующим образом: в правильной
фигуре всегда найдется ось y1 , относительно которой фигура будет расположена так
же, как относительно оси y , и потому J y1 = J y . В соответствии с зависимостью (5)

J y1 = J y cos 2 α 1 + J z sin 2 α 1
или
7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

(

)

J y 1 − cos 2 α 1 = J z sin 2 α 1 ,
откуда J y = J z . Тогда

J u = J y cos 2 α + J z sin 2 α
или J u = J y .
Моменты инерции правильных фигур относительно центральных осей равны и любые
центральные взаимно перпендикулярные оси являются главными.
Геометрические характеристики некоторых элементарных --">