Виталий Афанасьевич Жилкин - Определение геометрических характеристик поперечных сечений брусьев в программных продуктах SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005 и MathCAD: методические указания

фигур приведены в
таблице 1.
Таблица 1
Фигура

Площадь и
координаты
центра тяжести

F = b⋅h
b
yC = ,
2
h
zC = .
2

F = b⋅h
b h
yC = + sinα ,
2 2
h
zC = .
2

b⋅h
2
h
zC = .
3

Статические
моменты

S yC = 0 ,
S zC = 0 ,
S y = F ⋅ zC .

S y = F ⋅ zC ,

bh 3
,
3
bh 3
J yC =
,
12
b3h
J zC =
12
Jy =

bh 3
,
3
bh 3
=
12

Jy =
J yC

F=

8

Моменты
инерции

bh 3
,
12
bh 3
=
36

Jy =
S y = F ⋅ zC
J yC

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Фигура

Площадь и
координаты
центра тяжести

F = πR 2 =

πD 2
4

,

yC = 0 ,

Статические
моменты

Sy = 0 ,

Моменты
инерции

J y = Jz =

Sz = 0 .

πD 4
64

zC = 0 .

π (D − d
2

F=

2

4
yC = 0 ,

),

J y = Jz =
=

Sz = 0 .

πR 2
2

=

πD 2
8

−

πd 4

=
64
64
πD 4
=
1 − c4
64
где c = d / D

Sy = 0 ,

(

zC = 0 .

F=

πD 4

)

,

4R
,
3π
zC = R .

yC =

2 R3
Sy =
.
3

J y = J z ≈ 0 ,393 R 4
J yC ≈ 0.11R 4

J yC = J zC ≈ 0 ,055 R 4 ,
F=

πR 2

=

πD 2

,
16
yC = zC ≈ 0 ,424 R .
4

S y = Sz =

πR
4

J yC zC ≈ −0.017 R 4 ,

2

J yz = R 4 / 8 ,

⋅ zC .

J 1 ≈ 0 ,072 R 4 ,
J 2 ≈ 0 ,038 R 4

ЭЛЛИПС ИНЕРЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА1
Радиус инерции is - это расстояние от оси s до точки, в которой надо сосредоточить площадь плоской фигуры, так чтобы момент инерции J s точки относительно этой оси вычислялся по формуле
J s = is2 F .
1

Сопротивление материалов. Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: «Высш. школа», 1975. – 480 с.

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Пусть для какой-либо фигуры оси u и v являются главными центральными
осями. Тогда момент инерции для повернутой оси y1 определяется по первой из формул (12). Разделив все слагаемые этого равенства на F , получим
i y21 = iu2 cos 2 α + iv2 sin 2 α .
(16)
Построим в осях u и v эллипс, взяв за полуоси радиусы инерции фигуры
(рис.7). При этом вдоль оси u отложим радиус iv , а на оси v - радиус инерции iu .
Запишем уравнение этого эллипса:
u2 v 2
+
= 1.
(17)
iv2 iu2
Данный эллипс называют эллипсом инерции фигуры.
Проведём касательную к эллипсу параллельную оси y1 . Если координаты точки касания uA и v A , то уравнение касательной к эллипсу можно
записать в виде
uuA vv A
+ 2 = 1.
(18)
iv2
iu
Найдем расстояние между касательной и осью y1 .
Из рис.7 видно, что
Рис.7
h = v A cos α + uA sinα
или
uA sinα v A cos α
+
= 1.
(19)
h
h
Сравнивая уравнения (18) и (19), можно заключить

u sinα
v cos α
=
; 2 =
2
h
h
iv
iu
или
u 2 iv2 sin 2 α
v 2 iu2 cos 2 α
=
; 2 =
.
iv2
h2
iu
h2
Подставим в уравнение эллипса инерции полученные величины:
2
2
i z2 sin 2 α i y cos α
+
= 1,
h2
h2

откуда
h 2 = iu2 cos 2 α + iv2 sin 2 α
Сравнение полученной зависимости с выражением (16) показывает, что величина h численно равна радиусу инерции относительно наклонной оси. Установленное
свойство эллипса инерции позволяет графически определить момент инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат. Для этого достаточно провести касательную к эллипсу параллельно этой оси и замерить кратчайшее расстояние
между касательной и осью. Это расстояние h и будет равно радиусу инерции для рассматриваемой оси.
Главные радиусы инерции вычисляются по формулам

10

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

J max
J min
; iv = imin =
.
(20)
F
F
Найдем параметрическое уравнение эллипса в произвольных осях y и z , относительно которых главные оси инерции u и v повернуты на угол α (рис.8).
iu = imax =

Рис.8
Выразим координаты точки A в осях u и v через координаты этой точки в
осях y и z
u = y cos α + z sin α ;
(21)
v = − y sin α + z cos α
(22)
Уравнение эллипса инерции (17), записанное для главных центральных осей u
и v , можно переписать в параметрической форме
u = iv cos ϕ ;
v = iu sinϕ .

С учетом зависимостей (21) и (22) параметрическое уравнение эллипса инерции
в осях y и z примет вид:
y cos α + z sin α = imin cos ϕ ;
− y sin α + z cos α = imax sin ϕ .

Отсюда, в соответствии с правилом Крамера:
iv cos ϕ
y=

∆1 iu sinϕ cos α
=
= iv cos ϕ cos α − iu sinϕ sinα :
cos α sinα
∆
− sinα cos α
cos α

z=

sinα

(23)

iv cos ϕ

∆2 − sinα iu sinϕ
=
= iu sinϕ cos α + iv cos ϕ sinα .
cos α sinα
∆
− sinα cos α

11

(24)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

КОНСТРУКТОР СЕЧЕНИЙ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА
SCAD OFFICE2
Проектно-вычислительный комплекс SCAD, широко используемый для расчета
и проектирования конструкций зданий и сооружений, в --">