Людмила Георгиевна Петерсон , Назар Хангельдыевич Агаханов , Александр Юрьевич Петрович , Олег Константинович Подлипский , Марина Викторовна Рогатова , Борис Викторович Трушин - Алгебра. 9 класс. Учебник в 2-х частях. Часть 1

.

*

ФГОС

ООО

Л. Г. Петерсон, Н. X. Агаханов, А. Ю. Петрович,
О. К. Подлипский, М. В. Рогатова, Б. В. Трушин

ФГОС

ООО

Л. Г. П е те рсо н, Н. X. А гаханов, А. Ю. П етрович,
О. К. П о д л и п ски й , М . В. Р огатова, Б. В. Т руш ин

Алгебра
9 кл а сс
Учебник
(в 2 частях)

Ч а сть 1
2-е издание,стереотипное
Д опущ ено
к использованию при реализации имеющих государственную
аккредитацию образовательных программ начального общего,
основного общего, среднего общего образования

Москва
Просвещение'
2021

УДК 373:51
ББК 22.1я721
П 29
\

Образовательная система Л. Г. Петерсон
«УЧУСЬ УЧИТЬСЯ»
Непрерывный курс математики
для дошкольников, учащихся начальной и основной
школы 1—9 (от 3 до 15 лет)

П 29

Петерсон, Л. Г. Алгебра. 9 класс : учебник (в 2 частях).
Ч. 1 / Л. Г. Петерсон, Н. X. Агаханов, А. Ю. Петрович,
О. К. Подлипский, М. В. Рогатова, Б. В. Трушин. —
2-е изд., стереотип. — М. : Просвещение, 2021. — 176 с. :
ил. — ISBN 978-5-09-081137-8.
Учебник ориентирован на развитие мышления и творческих
способностей учащихся, формирование у них системы проч­
ных математических знаний, общеучебных умений, развитие
личностных качеств, познавательного интереса и ценностного
отношения к образованию.
Является частью непрерывного УМК по математике «Учусь
учиться» для дошкольников, учащихся начальной и основной
школы (от 3 до 15 лет). Соответствует федеральному государ­
ственному образовательному стандарту основного общего обра­
зования.
Реализует дидактическую систему деятельностного метода
обучения Л. Г. Петерсон. Отмечен Премией Президента РФ в
области образования.
Может использоваться во всех типах школ.
Курсовую и методическую поддержку по реализации УМК
«Учусь учиться» осуществляет НОУ ДПО «Институт системно­
деятельностной педагогики». Подробную информацию можно
получить на сайте www.ach2000.r4.
У Д К 373:51
Б Б К 2 2.1я721

IS B N 9 7 8 -5 -0 9 -0 8 1 1 3 7 -8 (4 .1 )
ISB N 978-5-09-081138-5

© АО «И зд ательство «П росвещ ени е», 2020
© Л . Г. П етерсон , Н . X . А гах ан о в, А . Ю . П етров и ч, О. К . П одли пски й,
М. В. Р огатова, Б . В . Т руш и н , 2 0 1 4 , 2 0 1 8 , с и зм е н е н и ям и

□, □ □ © © © ©

Чтобы, уч еб н и ко м бы ло удобн о п о льзо ват ься
в нем введен ы следую щ и е обозначения:

-

задачи по новой теме для работы в классе,

- задачи д л я домаш ней работы,

- повторение ранее пройденного,

- задачи на см екалку,

- задани я базового уровня,

- более слож ны е зад ан и я по новы м тем ам и темам
повторения,

- задания, требующие умения находить нестандартные
способы реш ения,

■

— заверш ение доказательства теоремы,

* * * - материал д л я тех, кому интересно.

3

Глава 1

Развитие математической теории
тг—

§ 1. Элементы комбинаторики

=

и теории вероятностей
1.1.1. Перестановки с повторениями

Кто повторяет старое и узнаёт новое,
тот может быть предводителем.
Конфуций (551-479 г. до н.э.)*
китайский философ

В 8 классе мы познакомились с разделом математики, который изучает общие
законы комбинирования различных объектов, - комбинаторикой. Мы вывели одну
из формул комбинаторики, которая позволяет найти количество перестановок эле­
ментов некоторого множества без их непосредственного перебора. Вспомним, как
можно использовать эту формулу, на следующем примере.
Найдём количество всех различных вариантов орнамента, который получается
путём перестановки трёх элементов: чёрного и красного квадратов и звёздочки.
Мы могли нарисовать все возможные комбинации элементов, последовательно
изменяя их порядок:

□

□*□

*□ □

*□ □

□□*

Быстрее этот результат мы получим, применяя способы, известные нам из
8 класса: правило произведения 3 - 2 - 1 = 6 либо формулу количества перестановок
Р3 = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.
А что если наш орнамент может быть использован только в чёрно-белом варианте?
Тогда среди элементов орнамента будет два одинаковых квадрата:
В этом случае различных вариантов орнамента будет только три - остальные
дублируют ранее выписанные варианты. Вычеркнем их.

□
Таким образом, при повторениях элементов формула Р3 = 3! не работает, так как
она включает все перестановки, в том числе и дубли. Значит, рассчитывать число
подобных перестановок нужно как-то иначе. В данном пункте мы найдём общий
способ подсчёта количества перестановок элементов множества, --">