Валерий Александрович Гусев , Лариса Николаевна Ерганжиева , Александра Борисовна Пятерикова , Василий Ильич Хорхордин , Ирина Гавриловна Шведова - Геометрия. Профильный уровень. Методическое пособие для 10 класса

трехгранного угла
равна 180◦ , то все эти углы острые, так как в этом случае
тупой угол был бы больше суммы двух остальных плоских
углов, что невозможно.
3(28.3). Можно ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получить:
а) трапецию; б) прямоугольник; в) квадрат; г) параллелограмм, отличный от прямоугольника?
О т в е т: а) да; б) да; в) да; г) нет.

192

Глава 5. Многогранные углы

4(28.4). Докажите, что не существует плоскости, перпендикулярной всем трем граням трехгранного угла.
Решение. Предположим противное. Пусть
перпендикулярна всем трем граням данного
угла. Тогда ребра этого угла параллельны
дикуляры к плоскости α, что противоречит
трехгранного угла.

плоскость α
трехгранного
как перпенопределению

5(28.6). Могут ли двугранные углы трехгранного угла быть
равны:
а) 70◦ , 60◦ , 80◦ ; б) 30◦ , 45◦ , 100◦ ; в) 120◦ , 150◦ , 60◦ ?
О т в е т: а) да; б) нет; в) да.
6(28.7). Докажите, что если двугранные углы трехгранного
угла равны, то каждый из них больше 60◦ .
Решение. Пусть каждый двугранный угол трехгранного
угла равен α. Тогда 3α > 180◦ и α > 60◦ .
7(28.8). Докажите, что если плоские углы трехгранного
угла равны, то равны и его двугранные углы.
Решение. Отложим от вершины M трехгранного угла равные отрезки MA, MB и MC (рис. 5.1). Тогда треугольники
AMB, BMC и AMC равны по двум
сторонам и углу между ними, откуда
AB = BC = CA.
Пусть
AD1 ⊥ BM,
BD
⊥
CM,
CD
⊥
AM.
Тогда
углы
2
3
D
AD1 C,
BD2 A,
CD3 B
являются
A
C линейными углами соответствующих
двугранных углов, но так как △AD1 C =
B
= △BD2 A = △CD3B (по трем сторонам),
Рис. 5.1.
то ∠AD1 C = ∠BD2A = ∠CD3B.
8(28.9). Плоские углы трехгранного угла равны 60◦ , 60◦
и 90◦ . На общем ребре двух равных плоских углов отложен
отрезок MA длины a. Найдите:
а) длину проекции MA на плоскость третьей грани,
б) угол, который образует ребро MA с плоскостью
третьей грани.
a
О т в е т: а) √ ; б) 45◦ .
M

2

§ 28. Трехгранные углы 193

9(28.10). Трехгранный угол называется прямым, если все
его плоские углы прямые. Докажите, что все двугранные
углы прямого трехгранного угла также являются прямыми.
Решение. Плоские углы прямого трехгранного угла являются линейными углами двугранных углов этого угла.
10(28.11). На ребрах прямого трехгранного угла с вершиной M взяты точки A, B и C. Докажите, что проекция
точки M на плоскость ABC совпадает с точкой пересечения
высот треугольника ABC.
Решение. Обозначим через H проекцию вершины M на
плоскость ABC. Поскольку ребро MC перпендикулярно
плоскости ABM, MC ⊥ AB. Так как MH — высота тетраэдра MABC, то MH ⊥ AB. Отсюда ребро AB перпендикулярно плоскости CMH, а, значит, AB ⊥ CH и BH ⊥ AC.
11(28.12). Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от плоскостей всех трех граней трехгранного угла
и лежащих внутри этого угла.
Решение. Геометрическим местом точек, равноудаленных
от плоскостей граней двугранного угла, является биссекторная плоскость, которая делит пополам линейный угол
этого двугранного угла.
Если MABC — данный трехгранный угол, то биссекторные плоскости каких-либо двух двугранных углов этого
угла пересекаются по прямой l, каждая точка которой
равноудалена от плоскостей всех трех граней данного трехгранного угла, поэтому биссекторная плоскость третьего
двугранного угла также проходит через прямую l, которая
и является искомым геометрическим местом точек.
12. Докажите, что сумма величин двугранных углов трехгранного угла больше 180◦ .
Решение. Пусть двугранные углы трехгранного угла
MABC равны A, B и C. Возьмем внутри угла MABC
точку M1 и опустим перпендикуляры MA1 , MB1, MC1 на
грани BMC, AMC, AMB соответственно (рис. 5.2). Обозначим ∠B1 M1 C1 = α1 , ∠A1 M1 C1 = β1, ∠A1 M1 B1 = γ1. Тогда

194

Глава 5. Многогранные углы
M

A1
B1
A

C1

M1
B

C

α1 = 180◦ — A, β1 = 180◦ − B, γ1 = 180◦ − C.
α1 ,
β1 ,
γ1 — плоские
Поскольку
углы трехгранного угла, выполняются
неравенства α1 + β1 + γ1 < 360◦
и A + B + C = 540◦ − (α1 + β1 + γ1) > 540◦ −
− 360◦ = 180◦ .

13(28.15). Докажите, что если двугранные углы трехгранного угла равны, то
равны и его плоские углы.
Рис. 5.2.

Решение. Пусть точка S1 лежит внутри трехгранного
угла SABC, A1 , B1 , C1 — основания перпендикуляров,
опущенных из нее на грани BSC, ASC, ASB соответственно
(рис. 5.3), ∠BCS = α; ∠CSA = β; ∠ASB = γ, ∠B1 S1 C1 = α1 ,
∠C1 S1 A1 = β1, ∠A1 S1 B1 = γ1 , A, B, C — величины двугранных углов трехгранного угла SABC с ребрами SA, SB, SC
соответственно, P — точка пересечения плоскости B1 S1 C1
с ребром SA.
Поскольку прямые --">