Валерий Александрович Гусев , Лариса Николаевна Ерганжиева , Александра Борисовна Пятерикова , Василий Ильич Хорхордин , Ирина Гавриловна Шведова - Геометрия. Профильный уровень. Методическое пособие для 10 класса

S1 B1 и S1 C1
S
перпендикулярны граням ASC и ASB,
ребро SA перпендикулярно плоскости B1 S1 C1 и, таким образом,
B1 A
1
P
угол
B1 PC1
является
линейным
углом
двугранного
угла
при
ребре
S1
C
C1
A
SA,
т. е.
∠B1 PC1 = A.
Тогда
из
B
четырехугольника
B1 S1 C1 P
находим:
∠B1 S1 C1 +B1 PC1 =α+A=360◦ −
Рис. 5.3.
−(∠PB1 S1 +∠PC1 S1 )=360◦ −(90◦ +90◦ )=
=180◦ . Аналогично, β1 +B=γ1 +C=180◦.
Итак, из равенства углов A, B, C вытекает равенство
плоских углов α1 , β1 , γ1 трехгранного угла S1 A1 B1 C1 .
Но в этом случае равны и двугранные углы A1 , B1 ,
C1 трехгранного угла SA1 B1 C1 . Учитывая равенства
A1 +α=B1 +β=C1 +γ=180◦, получаем, что α=β=γ, т. е. плоские углы трехгранного угла SABC равны.
14. Плоские углы трехгранного угла равны α, β, γ,
а противоположные им двугранные углы — A, B и C.
Докажите, что cos α=

cos A+cos B·cos C
.
sin B·sin C

§ 28. Трехгранные углы 195

Решение. Возьмем внутри угла SABC точку S1 и опустим
перпендикуляры S1 A1 , S1 B1 , S1 C1 соответственно на
грани BSC, ASC, ASB (рис. 5.3 к задаче 13). Обозначим
плоские углы трехгранного угла S1 A1 B1 C1 через α1 ,
β1 , γ1 , а двугранные углы этого угла — через A1 , B1 ,
C1 . Тогда α1 =π−A, β1 =π−B, γ1 =π−C; A1 =π−α, B1 =π−β,
C1 =π−γ. Применяя теорему косинусов к трехгранному
cos α1 −cos β1 ·cos γ1
или
sin β1 ·sin γ1
− cos A−cos B·cos C
cos A+cos B·cos C
− cos α=
, т. е. cos α=
.
sin B·sin C
sin B·sin C

углу S1 A1 B1 C1 , получим: cos A1 =

15(28.17). Докажите, что если три двугранных угла одного
трехгранного угла соответственно равны трем двугранным
углам другого трехгранного угла, то такие трехгранные
углы равны.
Решение. Исходя из определения трехгранного угла,
достаточно доказать равенство соответствующих плоских углов для заданных углов трехгранных. Обратим внимание на результат задачи 14. Применим его:
cos A+cos B·cos C

. Косинусы плоских углов выраcos α=
sin B·sin C
жаются через тригонометрические функции двугранных
углов, которые, по условию задачи, одинаковы для углов
трехгранных. Отсюда вытекает необходимое для решения
задачи равенство этих плоских углов.
16 (теорема синусов для трехгранного угла). Пусть плоские
углы трехгранного угла равны α, β, γ, а противоположные им двугранные углы — A, B, C. Докажите, что
sin α sin β sin γ
=
=
для случая, когда α, β, γ — острые углы.
sin A sin B sin C

Решение. Обозначим ∠ASB=β, ∠ASC=γ. Проведем перпендикуляр AH из точки A на ребре SA к плоскости SBC,
а также перпендикуляры AP и AQ к прямым SB и SC
соответственно. Поскольку α, β, γ — острые углы, высоты
AP, AQ окажутся на гранях трехгранного угла. По теореме
о трех перпендикулярах, HP⊥SB, HQ⊥SC⇒∠B=∠APH,
∠C=∠AQH (рис. 5.4). Тогда из прямоугольных треугольников AHP, AHQ получим: AH=AP sin B=AQ sin C. Прямоугольные треугольники APS, AQS, в свою очередь, дают

196

Глава 5. Многогранные углы
A

B
P

S

H
Q
C

Рис. 5.4.

равенства AP=AS sin β, AQ=AS sin γ. Отсюда следует,
sin β

sin γ

=
. Аналогично доказываются равенства для
что
sin B sin C
остальных пар углов.
17(28.18). Постройте плоскость, пересекающую данный
трехгранный угол и образующую с его ребрами равные
углы.
Решение. Отложим от вершины трехгранного угла
ABCE отрезки EA1 , EB1 , EC1 одинаковой длины.
Докажем, что плоскость A1 B1 C1
является
искомой. Пусть точка O является центром окружности, описанной около треугольника A1 B1 C1 . Рассмотрим треугольники EA1 O, EB1 O, EC1 O. Они равны
по трем сторонам (поэтому ∠EA1 O=∠EB1O=∠EC1 O)
и
являются
прямоугольными.
8−−→ −−−→ −−Действительно,
−→

)=0,
1
EO· OA1 = EO· OB1 = EO· OC1 ⇒ > −−→ −−−→ −−−→1
Обо: EO·(OA − OC )=0.
1
1
−−−→ −−−→
−−−→ −−−→ ~
значим OA1 − OB1 = a
~ , OA1 − OC1 = b.
Это означает, что
прямая EO перпендикулярна двум непараллельным
прямым плоскости ABC, т. е. EO⊥ABC. Отсюда следует,
что A1 O, B1 O, C1 O — проекции отрезков EA, EB, EC
на плоскость ABC и каждый из равных углов ∠EA1 O,
∠EB1 O, ∠EC1 O является углом наклона соответствующего
ребра к плоскости ABC.
17(28.20). Сумма плоских углов трехгранного угла равна
180◦ . Докажите, что сумма косинусов его двугранных углов
равна 1.

§ 29. Многогранные углы 197

Решение.

По

теореме

косинусов

для

трехгранного

cos A+cos B cos C
cos B+cos A cos C
угла, cos α=
, cos β=
, cos γ=
sin B sin C
sin A sin C
cos C+cos A cos B
. Из тео=cos(180◦ −(α+β))=− cos(α+β)=
sin B sin A

ремы синусов (задача 15) следует, что

sin α = sin β = sin γ ⇒sin γ=sin(α+β)=sin α cos β+
sin A sin B sin C

+cos α sin β=t sin A cos β+t cos α sin B=t sin C.
Здесь t — некоторое число. Тогда sin A cos β + cos α sin B =
= sin C. В то же время
sin C = cos B + cos A cos C + cos A + cos B cos C ⇒
sin --">