Евгений Константинович Белый - Геометрия двусторонней линейки

Интересно, что редактировал книгу лично государь. Сохранилась рукопись
с пометками, сделанными рукой Петра I. В марте 1708 г.
книга была напечатана под названием «Геометрия славянского землемерия». Это была первая печатная книга,
изданная на только что введенном гражданском алфавите, и первая в России книга, обстоятельно излагавшая

7
важнейшие геометрические построения. Когда заходит речь
о петровских временах, поневоле приходится постоянно
употреблять слово «первый». Очень многое в стране
делалось тогда впервые. В феврале 1709 г. увидело свет переработанное издание книги фон Пюркенштейна уже под
названием «Приемы циркуля и линейки» с добавленной
царем Петром I главой «Как делать на горизонтальном
месте солнечные часы». На этой книге выросло не одно
поколение российских офицеров и инженеров.
Геометры с античных времен верили в могущество циркуля и линейки, хотя первый инструмент позволяет строить только окружности, а второй только прямые. Многие
задачи, которые мы привыкли считать алгебраическими,
тогда решались геометрически. Так, греки посредством
циркуля и линейки решали квадратные уравнения. И сейчас все построения в рамках школьной программы выполняются классическим набором интструментов. Даже если
ради экономии времени мы используем угольник, предполагается, что построение можно выполнить циркулем
и линейкой. И все же есть построения, которые геометры
не могли осуществить с античных времен. Прежде всего,
это трисекция угла: мы можем разделить угол на две, но
не можем разделить на три равных части. В XVII в. Рене
Декарт

создал

специальный

инструмент,

который

8

Предисловие

может выполнить такое построение. Позже изобрели и другие «трисекторы». Но для геометра это «нечестный прием». Только в 1837 г. Пьер Ванцель решил проблему,
доказав невозможность выполнения трисекции и ряда
других построений посредством циркуля и линейки. Не все
построения можно выполнить классическими средствами!
Теперь в центре внимания геометров оказались проблемы исследования возможностей отдельных классических,
а также «нестандартных» инструментов.
Еще в XVII в. появились задачи на построение с одним
циркулем, одним угольником и одной линейкой. Последние имели важное значение и практическое применение
в геодезии. Поскольку геодезистам в своей работе приходится иметь дело почти исключительно с прямыми линиями, возник интерес к геометрическим построениям, производимым одной линейкой. Такого рода построения рассматривали Иоганн Ламберт, Шарль Брианшон – автор
книги «Приложения теории трансверсалей» (1818), предназначенной для лиц, занимающихся землемерными
работами, а также Жан-Виктор Понселе в связи с исследованиями по проективной геометрии. Но наиболее полные исследования в этой области были произведены швейцарским геометром Якобом Штейнером и изложены в его
сочинении «Геометрические построения, производимые

9
с помощью прямой линии и неподвижного круга» (1833).
Оказалось, что, если на плоскости дана окружность, мы
можем посредством линейки (односторонней) построить
любое конечное множество точек, которое можно построить посредством циркуля и линейки. Кроме того, Штейнер исследовал построения, производимые одной двусторонней линейкой. Им и посвящена наша книга.
Мы рассказали, зачем нужны были геометрические
построения инженеру. Но зачем они современному школьнику? Действительно, в последнее время задачи на построение незаслуженно отодвинуты на задний план. И это
несмотря на их важную роль в формировании у учащихся логического мышления. В возрасте, когда школьники
начинают изучать геометрию, этот вид мышления у них
находится еще в стадии становления. Многие из нас могут
вспомнить, как, начиная изучать признаки равенства треугольников, просто не понимали, что от нас хочет учитель,
что такое доказательство. Зато в этом возрасте школьник
готов выполнять сложные манипуляции с инструментами.
Такие

манипуляции

сродни

игре.

И

логика

быстрее постигается через инструменты. Так изучали геометрию с древних времен. И сегодня – в век компьютера
– время, потраченное на геометрические построения, – это
время, потраченное с большой пользой.

10

Предисловие

Геометрические построения излагаются в нашей книге
в такой --">