Евгений Константинович Белый - Геометрия двусторонней линейки

последовательности, чтобы возможность каждого следовала из возможности выполненных ранее или зафиксированных в аксиомах. Ряд построений посредством
двусторонней линейки выполняется даже проще и быстрее, чем посредством односторонней линейки и циркуля;
другие становятся долгими и нудными. В любом случае
мы не ставим под сомнение полезность циркуля. Речь идет
только об исследовании возможностей инструмента.
К «теории» прилагается подборка задач. Некоторые задачи «сходу» не решаются. В таких случаях имеет смысл
обратиться за помощью к циркулю (для начала).
Желающим более подробно ознакомиться с затронутыми
в книге вопросами рекомендуем следующую литературу:
[1, с. 124–129], [2, с. 141–145], [3, с. 252–261], [4, с. 82–92], [5],
[6], [7], [8], [9, с. 203–204, 219–220], [10], [11, с. 12–15], [12].
Выражаем благодарность всем, кто высказал замечания
и предложения по вышедшим в печать книгам данной серии. По-прежнему вы можете писать нам по любому из
адресов:

belyi@petrsu.ru

или

kurs_belyi1@mail.ru.

Евгений Белый
Апрель 2022

Если пропал циркуль
Построения с двусторонней линейкой
Как быть, если у нас пропал циркуль? Что может
односторонняя линейка без циркуля?
Аксиомы односторонней линейки

Односторонняя линейка позволяет:
a) построить отрезок, соединяющий две заданные точки;
b)

построить

прямую,

проходящую

через

две

заданные точки;
c) построить луч, исходящий из заданной точки и прохо-

дящий через любую другую заданную точку.
Теперь нам разрешили использовать другую сторону
линейки. Такую линейку называют двусторонней.
Аксиомы двусторонней линейки

Двусторонняя
из

линейка

построений,

позволяет

доступных

выполнить

односторонней

любое

линейке,

и, кроме того:
d) в каждой из полуплоскостей, определяемых заданной

прямой, построить прямые, параллельные этой прямой
и проходящие от нее на расстоянии ℎ, где ℎ – фиксированная для данной линейки величина – ширина линейки;
e) если даны две точки 𝐴 и 𝐵 , линейка позволяет

12

Если пропал циркуль

установить, будет ли расстояние между 𝐴 и 𝐵 больше ширины линейки ℎ, т. е. выполняется ли условие 𝜌(𝐴, 𝐵) > ℎ;
если 𝜌(𝐴, 𝐵) > ℎ, то можно построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки

𝐴 и 𝐵 , таких, что расстояние между ними равно ℎ.
Из

аксиомы

(𝑑)

следует

возможность

следующего

построения.
Построение 1. Пусть дана прямая 𝑎1 . Требуется постро-

ить конечную последовательность параллельных 𝑎1 прямых 𝑎𝑖 , где 𝑖 = 2, 3 . . . 𝑛, таких, что расстояния между любыми двумя соседними 𝑎𝑖 равны ℎ:

𝜌(𝑎1 , 𝑎2 ) = 𝜌(𝑎2 , 𝑎3 ) = . . . = 𝜌(𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 ) = ℎ.
На рис. 1а такая последовательность прямых расположена
в нижней полуплоскости относительно прямой 𝑎1 .

Рис. 1.

Последовательность прямых (а); последовательность точек (б)

Построения с двусторонней линейкой

13

Решение: строим в нижней относительно 𝑎1 полуплоско-

сти прямую 𝑎2 , параллельную 𝑎1 и проходящую от нее на
расстоянии ℎ (d). Затем в полуплоскости, определяемой
прямой 𝑎2 и не содержащей 𝑎1 , строим прямую 𝑎3 , параллельную 𝑎2 и проходящую от нее на расстоянии ℎ. Продолжаем так же, пока не построим 𝑎𝑛 . П1
В дальнейшем нам пригодится следующее построение.
Построение 2. Даны прямая 𝑏 и точка 𝐴1 на ней.

Требуется построить конечную последовательность точек

𝐴𝑖 , где 𝑖 = 2, 3 . . . 𝑛, таких, что расстояния между любыми
двумя соседними 𝐴𝑖 равны:

𝜌(𝐴1 , 𝐴2 ) = 𝜌(𝐴2 , 𝐴3 ) = . . . = 𝜌(𝐴𝑛−1 , 𝐴𝑛 ),
т. е. |𝐴1 𝐴2 |= |𝐴2 𝐴3 |= . . . = |𝐴𝑛−1 𝐴𝑛 |. На рис. 1б такая
последовательность точек расположена на прямой 𝑏 по
правую сторону от точки 𝐴1 .
Решение: через точку 𝐴1 проводим прямую 𝑎1 , не совпа-

дающую с 𝑏. Затем в правой относительно 𝑎1 полуплоскости строим последовательность параллельных 𝑎1 прямых

𝑎𝑖 (𝑖 = 2, 3 . . . 𝑛), таких, что расстояние между любыми
соседними равно ℎ (п. 1). Точки пересечения прямой 𝑏
с прямыми 𝑎𝑖 обозначим 𝐴𝑖 . Последовательность точек 𝐴𝑖
удовлетворяет условиям задачи. П2

14

Если пропал циркуль

Расстояние между соседними построенными точками
зависит от угла, образуемого прямыми 𝑎1 и 𝑏, и принимает значения из интервала [ℎ; +∞).
Теперь небольшое замечание о применении аксиомы (е).
Допустим, линейку удалось --">