Виталий Афанасьевич Жилкин - Расчет на прочность и проверка жесткости статически определимых балок в программных продуктах SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания

заданных расчетных схем статически определимых балок, испытывающих
плоский поперечный изгиб и имеющих поперечные сечения:

балка № 1 - сечение прямоугольное ( h / b = 2 , h - высота поперечного сечения, b - его ширина; [σ ] = 10 МПа);

балка № 2 - сечение круглое ( [σ ] = 100 МПа);

балка № 3 - сечение круглое, полое ( d / D = 0.8 ; [σ ] = 160 МПа);

балка № 4 - двутавр ( [σ ] = 160 МПа, E = 2 ⋅ 10 5 МПа);
необходимо в системах MathCAD, SCAD, MSC.Patran-Nastran:

для балок № 1, 2, 3 осуществить подбор размеров поперечных сечений из
расчета прочности балки по нормальным напряжениям и выполнить проверку прочности по касательным напряжениям (по формуле Журавского);

для балки № 4 выполнить анализ напряженного состояния в балке, построить упругую линию и проверить балку на жесткость.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Рис.1
Номер
варианта
30

a

q1
q2
кН/м · 10
2
1

b

м
2

2

P1

P2

кН · 10
1,4
1

M1
M2
кН ·м · 10
0,8
1,2

P1
P2
кН · 10
2
0

M1
M2
кН ·м · 10
0
3

Рис.2

Номер
варианта
30

a
2

L
м
5

b

2

q1
q2
кН/м · 10
2
1
8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.3

Номер варианта
30

a

b

q1

6

3

q3
q2
кН/м · 10
1
1

м
4

q4
1

M3
M2
кН ·м · 10
6
4
0

M1

P
кН · 10
5

Рис.4

Номер
варианта

a

30

1

c

b

d

м
3

M1

M2

кН ·м · 10
1

3

6

0

9

P1

P2

q1

кН · 10
8

4

q2

q3

q4

кН/м · 10
3

2

0

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СИСТЕМЕ MATHCAD
Схема 1
1. Исходные данные

2. Определяем опорные реакции. Изображаем расчетную схему (рис.5)

Рис.5
и из уравнений равновесия находим опорные реакции:

3. Построение эпюр

10

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Под силой, изображенной на расчетной схеме, на эпюре Q должен наблюдаться скачок на величину силы, что и устанавливается в разделе программы
«Проверка правильности построения эпюры».
Для вычисления экстремальных значений поперечной силы можно воспользоваться встроенными в MathCAD функциями max(A, B, C, ...) и min(A, B, C,
...), которые возвращают максимальное и минимальное значение из некоторого
массива чисел. Для создания массива чисел из функции Q ( x ) разобьём отрезок
[0 , L] на 10000 отрезков и в точках ih вычислим значения функции Q( x ) .

Сечение, в котором поперечная сила достигает максимальной величины, называют опасным с точки зрения прочности по касательным напряжениям.
Составляем выражения для функций изгибающих моментов на каждом из участков, полагая, что реакции связи направлены так, как показано на рис.5, и не принимаем во внимание полученные знаки для реакций. ЭВМ без нашей помощи учтет эти
знаки!

Находим экстремальные значения функции моментов:

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Скачки на эпюре моментов должны быть только в тех сечениях, где приложены
сосредоточенные моменты, и по величине быть равным величине заданных моментов.
Опасным, с точки зрения прочности по нормальным напряжениям, является то
поперечное сечение балки, в котором возникает наибольший по абсолютной
величине изгибающий момент M max . Опасное сечение находится на расстоянии 2 м от
правой опоры.

4. Подбор размеров поперечного сечения балки
В подавляющем большинстве случаев расчет балок на прочность ведется по
наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях.
По высоте поперечного сечения балки нормальные напряжения изменяются по
линейному закону, а касательные напряжения - по параболическому (рис.6).

Рис.6

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Пластичные материалы одинаково сопротивляются как растяжению, так и сжатию; в связи с этим для них σ p = [σ сж ] = [σ ] . Поэтому балки из пластичных материалов обычно имеют поперечные сечения, симметричные относительно своих нейтральных осей, так как в таких балках возникают одинаковые наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения.
Опасными с точки зрения прочности по нормальным напряжениям
являются точки опасного поперечного сечения, наиболее удаленные от
нейтральной оси.
Для этих точек и составляется условие прочности:
M
max σ = max ≤ [σ ] ,
(1)
W
где M max - максимальный изгибающий момент; --">