Виталий Афанасьевич Жилкин - Расчет на прочность и проверка жесткости статически определимых балок в программных продуктах SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания

касательным
напряжениям обеспечена.

Схема 2
1. Исходные данные

2. Определение опорных реакций
Изображаем расчетную схему (рис.8)

Рис.8
и из уравнений равновесия находим опорные реакции:

15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. Построение эпюр

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. Подбор размеров поперечного сечения балки
По высоте поперечного сечения балки нормальные напряжения изменяются по
линейному закону, а касательные напряжения, в соответствии с формулой Журавского,
- по параболическому (рис.9).

Рис.9
Условие прочности для наиболее удаленных от нейтральной оси точек по (1)
max σ =

M max
≤ [σ ] ,
W

где для круглого поперечного сечения диаметром D величины W =

17

πD 3
32

.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Из условия прочности находим момент сопротивления балки при изгибе:
M
W = max

[σ ]

и диаметр D по формуле
D=

32 M max

π [σ ]

.

(5)

Вычисления выполняем в системе MathCAD:

5. Проверка прочности балки по касательным напряжениям
Условие прочности балки по касательным напряжениям в ее поперечных сечениях записывают исходя из формулы Журавского (4), в которой для круглого сечения
D3
отс
S но
=
.
max
12
Для круглого поперечного сечения допущение о том, что касательные напряжения параллельны оси z , строго не выполняется3. В точках, лежащих на окружности,
вектор касательного напряжения должен быть направлен по касательной к контуру в
силу свойства парности касательных напряжений (иначе должно действовать на свободной боковой поверхности стержня касательное напряжение!). Поэтому допущение
о постоянстве касательных напряжений вдоль прямой, параллельной нейтральной оси,
можно заменить более общим условием: постоянство составляющих касательных напряжений τ xz вдоль этих прямых. Нужно всегда иметь в виду, что формула Журавского определяет не полное касательное напряжение τ в точке сечения, а лишь составляющую τ xz этого напряжения, параллельную плоскости действия нагрузки. Однако в
контурных точках сечения полные напряжения τ могут быть найдены графически по
предварительно вычисленным напряжениям τ xz . Для этого в рассматриваемой точке
контура строится прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза направлена по
касательной к контуру, а катет, параллельный оси z , представляет собой напряжение
τ xz в этой точке. Изложенное иллюстрируется рис.9.
Отметим, что формулой Журавского можно пользоваться только в тех случаях,
когда плоскость действия нагрузки перпендикулярна одной из главных центральных
осей инерции сечения. Объясняется это тем, что при выводе формулы Журавского исM
пользовано уравнение σ =
z , справедливое лишь при указанных условиях.
Jy

(

)

3

Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 560
с.;
Заславский Б.В. Краткий курс сопротивления материалов. – М.: Машиностроение, 1986. – 328 с.

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Проверку прочности заданной балки на касательные напряжения выполним в
системе MathCAD:

Максимальные касательные напряжения в нейтральном слое бруса меньше допускаемых [τ ] = 100 МПа. Прочность бруса по касательным напряжениям обеспечена.

Схема 3
1. Исходные данные

2. Определение опорных реакций
Изображаем расчетную схему (рис.10)

Рис.10
и из уравнений равновесия находим опорные реакции:

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. Построение эпюр

Эпюра М

20

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. Подбор размеров поперечного сечения балки
По высоте поперечного сечения балки нормальные напряжения изменяются по
линейному закону, а касательные напряжения, в соответствии с формулой Журавского,
- по параболическому (рис.11).

Рис.11
21

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Условие прочности для наиболее удаленных от нейтральной оси точек по (1)
max σ =

M max
≤ [σ ] ,
W

где для кольцевого поперечного сечения с внешним диаметром D и внутренним диаметром d
4
πD 3   d  
W =
1−  .
32   D  
Из условия прочности находим момент сопротивления балки при изгибе
W =

M max

[σ ]

и диаметр D :
32 M max
.
  d 4 
π [σ ] 1 − --">