Виталий Афанасьевич Жилкин - Расчет на прочность и проверка жесткости статически определимых балок в программных продуктах SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания

для прямоугольного поперечного се-

[ ]

bh 2
чения W =
; b - ширина поперечного сечения, h - его высота; [σ ] - допускаемые
6
напряжения.
В некоторых случаях для балок из пластичных материалов применяются сечения, не симметричные относительно нейтральной оси. Если балка имеет такое сечение,
то в формулу (1) надо подставить меньший из двух осевых моментов сопротивления.
Из условия прочности находим момент сопротивления балки при изгибе
M
W = max ,
(2)

[σ ]

Подсчитав по формуле (2) осевой момент сопротивления W , находим размеры
сечения балки:
2
M
3 M max
b ⋅ (2 b )
W=
= max ,
b=3
(3)
[σ ]
2[σ ]
6

5. Проверка прочности балки по касательным напряжениям
В некоторых (сравнительно редких) случаях расчет на прочность только по наибольшим нормальным напряжениям, действующим в поперечном сечении балки, недостаточен, и приходится дополнительно производить проверку прочности по главным
напряжениям, возникающим в наклонных сечениях, и по максимальным касательным
напряжениям.
Условие прочности балки по касательным напряжениям в ее поперечных сечениях записывают исходя из формулы Д. И. Журавского:

(

отс
Qmax Sно
maxτ =
bJ y

)

max

≤ [τ ] .

(4)

Здесь Qmax - наибольшая по абсолютной величине поперечная сила; J y - момент инерции всей площади поперечного сечения относительно нейтральной оси y ; b - ширина
13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

отс
поперечного сечения в опасной точке; [τ ] = 2 МПа - для дерева; Sно
- статический

момент части площади поперечного сечения Аотс , расположенной выше (или ниже)
рассматриваемой точки относительно нейтральной оси y ( но ), равный произведению
этой площади на расстояние центра тяжести этой площади до оси y . Для прямоуголь-

(

отс
ного сечения Sно

)

max

=

bh 2
.
8

Формула (3), полученная Д.И. Журавским в 1858 г. при предположении, что
вдоль прямой, параллельной нейтральной
линии, касательные напряжения равны и
параллельны силовой линии, непригодна
для определения касательного напряжения в
любой точке произвольного сечения.
По формуле Журавского максимальные напряжения τ max = 1 ,5 Q z / A . Из решения методами теории упругости задачи по
определению максимальных касательных
напряжений в прямоугольном поперечном
сечении балки следует2:
1) касательные напряжения в точках нейтральной линии параллельны оси z ;
2) касательные напряжения в средней и
крайней точках нейтральной линии определяются по формулам
Q
Q
τ 1 = α1 z , τ 2 = α1 2 .
A
A
Значения α 1 и α 2 при µ = 0.25 ( µ коэффициент
Пуассона материала балки)
Рис.7
приведены в табл.1, а характер распределения напряжений на нейтральной линии показан на рис.6.
Таблица 1
1/4
1/2
1
2
h/ b
2.982
2.094
1.689
1.549
α1
1.208
1.284
1.410
1.474
α2
Формула Журавского дает практически точное значение τ max при условии, что
h / b > 2 , демонстрируя этим изящное и простое инженерное решение очень трудной и
зачастую точно не разрешимой математической задачи.
Касательные напряжения, действующие в поперечных сечениях балки и в сечениях её, параллельных нейтральному слою, вызывают деформации сдвига, в результате
которых прямые углы между этими сечениями искажаются, т. е. перестают быть прямыми. Наибольшие искажения углов имеют место в тех точках поперечного сечения, в
которых действуют наибольшие касательные напряжения. У верхнего и нижнего краев
балки искажения углов отсутствуют, так как касательные напряжения там равны
нулю.
2

Тимошенко С.П. Теория упругости. Л.-М.: ОНТИ, гл. ред. техн.-теор. лит-ры, 1937. – 452 с.
Долинский Ф.В., Михайлов М.Н. Краткий курс сопротивления материалов. – М.: Высш. шк., 1988. – 432
с.

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

В результате деформаций сдвига поперечные сечения балки при поперечном изгибе искривляются. Однако это не отражается сколько-нибудь существенно на деформациях продольных волокон, следовательно, и на распределении нормальных напряжений в поперечных сечениях балки.
Проверим прочность балки по касательным напряжениям. Максимальная поперечная сила Qmax = 24 кН возникает в сечении x = 2 м (опасное сечение). Опасные
точки находятся в нейтральном слое ( z = 0 ), для которых

Максимальные касательные напряжения в нейтральном слое бруса меньше допускаемых напряжений [τ ] = 2 МПа; следовательно, прочность бруса по --">