Хосеп Каррера - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.

Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n - 1)^² к (n + 1)^². Для этого надо сложить два гномона: 2n - 1, позволяющий перейти от (n - 1)^² к n^², и 2n + 1, позволяющий перейти от n^² к (n + 1)^². Всего надо добавить 4n. То есть (n - 1)^² + 4n = (n + 1)^². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k^². Так мы получаем тройки k^² - 1, 2k и k^² + 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.

k 2 3 4 5 6 7 8   a = k²- 1 3 8 15 24 35 48 63   b = 2k 4 6 8 10 12 14 16   с = k² +1 5 10 17 26 37 50 65   Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:

Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.

Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ^²-μ^², b = 2λμ, c = λ^² + μ^², где λ и μ — взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 — натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.

ГЛАВА 8 Распространение «Начал»

Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.

«Начала» являют собой блестящий синтез трех веков достижений древнегреческой математики. Значение этого наследия было оценено уже в эпоху самого Евклида. На протяжении всей истории — в римский период, арабский, в Средние века и вплоть до наших дней — этот текст множество раз публиковали в более или менее полном виде.

Впервые он был издан в 370 году Теоном Александрийским; его версия может считаться основной традицией, на которую опираются все последующие.

Одной из самых великих научных традиций является арабская. Математики IX-X веков из багдадского Дома мудрости (эта эпоха и место имели огромное историческое значение для мировой культуры, науки в общем и для математики в частности) оценили значение «Начал», и благодаря их исследованиям и комментариям (из которых надо особо отметить комментарии Аль-Харизи и Ибн Малика) труды Евклида и других греческих мыслителей начиная с XII века стали возвращаться в Европу. К тому же периоду относятся переводы «Начал» на латынь, над которыми особенно потрудились переводчики из знаменитой толедской школы и, в меньшей мере, школы города Риполь.

МАНУСКРИПТЫ И ИЗДАНИЯ

Самый древний сохранившийся манускрипт «Начал» Евклида относится к X веку (если не учитывать отрывок, датированный между 75 и 125 годами). Он был обнаружен на свалке города Оксиринх, близ современной Эль-Бахнасы, в 160 км от Каира, во время раскопок, проводимых Бернардом Гренфеллом и Артуром Хантом для Оксфордского университета в 1896— 1897 годах. В таблице кратко перечислены основные рукописи «Начал». От некоторых остался всего один экземпляр.

Место Библиотека Век Оксфорд Бодлианская библиотека IX Ватикан Библиотека Ватикана X Флоренция Библиотека Лауренциана X Болонья Городская библиотека XI Вена Национальная библиотека XII (?) Париж Национальная библиотека XII Рукопись, хранящаяся в Оксфорде, была создана в 881 году Стефаном, опытным византийским каллиграфом, по заказу Арефы Кесарийского, архиепископа одноименного города в Каппадокии. Она написана широкими, почти квадратными буквами, с легким наклоном влево. В таком же стиле выполнен знаменитый манускрипт «Диалогов» Платона, также сделанный по приказу --">