Хоакин Наварро - Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

этом в общей математике ничего не изменится.

* * *

Гёдель поставил нас в очень интересное положение. Бертран Рассел в шутку говорил, что чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. Рёдель окончательно испортил дело. Мы также не знаем, сможем ли мы когда-либо что-либо доказать. Теорема Гёделя не выдумка, так как уже найдены некоторые недоказуемые утверждения, среди которых — континуум-гипотеза.

Очевидно, что недоказуемые утверждения не следует искать среди общеупотребительных. Если недоказуемость какого-либо утверждения как-то повлияет на другие области стандартной математики (яркий пример — теорема Ферма), то маловероятно, что мы имеем дело с гёделевским утверждением.

Вспомним последние вопросы, которые перед нами поставило число π. Есть ли на них ответ? На данный момент нет. Будет ли он получен в будущем? Возможно.

Мы не заявляем, что многие утверждения о π являются недоказуемыми. Многие полагают, что эти утверждения будут недоказуемы, если их доказательство или опровержение не повлияет на «стандартную» математику.

Допустим, что некоторые утверждения о числе π связаны с бесконечностью — весьма тонкой областью, расположенной на переднем рубеже математики. Именно в этой области выводы Гёделя уже получили подтверждение.

КУРТ ГЁДЕЛЬ (1906–1978)

Этот американский математик чешского происхождения специализировался на логике. В Европе он участвовал в семинарах Венского кружка. Эмигрировал в США из-за растущей угрозы нацизма. Известность ему принесла публикация «О формально неразрешимых предложениях Principia mathematica и родственных систем». Его работы настолько сложны для неспециалистов, что научно-популярная книга Эрнеста Нагеля «Доказательство Гёделя» более известна, чем оригинальный труд Гёделя. В этом труде представлены теоремы о неполноте, которые гласят, что формальная система, в которой можно определить основные арифметические понятия, не может быть одновременно полной и непротиворечивой. Он также доказал, что внутри такой системы есть аксиомы, недоказуемые в рамках этой системы. Оба вывода до сих пор не перестают вызывать смущение и ограничивают математику в той же мере, в какой принцип неопределенности Гейзенберга ограничивает физику.

Этот и другие результаты сделали Гёделя почти легендарной фигурой среди ученых всего мира. Книга Дугласа Роберта Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» стала бестселлером.

На протяжении всей жизни Гёдель страдал от депрессии и паранойи, что в конечном итоге привело к его смерти. Эта история больше напоминает приключенческий роман: Гёдель соглашался есть только то, что сперва пробовала его жена, поэтому когда она заболела и ее положили в больницу, он отказался принимать пищу и в итоге умер от истощения.

Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн в Институте перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси.

Глава 7 Первые 10 000 знаков числа π

Пока не вычисленные знаки π дремлют в таинственном абстрактном мире, наслаждаясь зыбкой реальностью. Пока они не вычислены, они не полностью реальны, но даже и тогда их реальность будет лишь относительна.

Уильям Джеймс

π = 3, : число знаков

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510: 50

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679: 100

8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128: 150

4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196: 200

4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091: 250

4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273: 300

7245870066 0631558817 4881520920 962829254 09171536436: 350

7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094: 400

3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548: 450

0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912: 500

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798: 550

6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132: 600

0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872: 650

1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235: 700

4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960: 750

5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859: 800

5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881: 850

7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303: 900

5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778: 950

1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989: 1000

3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952: 1050

0353018529 6899577362 --">