Иван Петрович Егоров - Геометрия

И. П. ЕГОРОВ

ГЕОМЕТРИЯ
СП Е Ц И А Л Ь Н Ы Й КУРС ДЛЯ СТУД ЕНТОВ
Ф И З И К О -М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Х Ф АК УЛ ЬТЕТ О В
П Е Д А Г О Г И Ч Е С К И Х И Н СТ И Т У Т О В
Д о п у щ е н о М и н и с те р с тв о м п р о св е щ е н и я С С С Р
в качестве у ч е б н о го по соб и я
д л я студ ентов ф и зи ко-м ате м атических ф акультетов
пе д агоги ческих институтов

U ИЗ
М О С К В А « П Р О С В Е Щ Е Н И Е » 1979

ОГЛАВЛЕНИЕ

Раздел I
О СИСТЕМАХ АКСИОМ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава I
Аксиоматический метод и математические структуры
Введение
..................................................................................................................
§ 1. Отношения. Отношения эквивалентности и факторизация
................
§ 2. Понятие математической структуры
..........................................................
............................
§ 3. Понятие модели (интерпретации) системы аксиом
§ 4. Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом.
Примеры
.........................................................................................................

7
9
11
18
21

Г л а в а II
Система аксиом школьного курса геометрии
§
§
§
§
§

1. Аксиомы школьного курса геометрии
......................................................
Следствия из аксиом расстояний
..............................................................
3. Следствия из аксиом I—III
......................................................................
......................................................................
4. Следствия из аксиом I— IV
5. Координатный метод. Доказательство некоторых теорем планиметрии.
2.

30
32
41
45
50

Г л а в а III
О системах аксиом Вейля и Гильберта
§ 1. Аксиоматическое определение евклидова пространства по Вейлю.
§ 2. Непротиворечивость системы аксиом Вейля трехмерного евклидова
пространства
.................................................................................................
§ 3. Категоричность аксиоматики Вейля
......................................................
§ 4. Определение некоторых геометрических понятий в аксиоматике
Вейля
..............................................................................................................
§ 5. Система аксиом Гильберта (обзор)
..........................................................

59
67
69
71
78

Г л а в а IV
Длины, площади
§ 1. Длины отрезков, аксиомы
...........................................................................
§ 2. Многоугольные фигуры. Площади на классе многоугольных фигур.
.............................................................. .... .
§ 3. Класс квадрируемых фигур

92
95
103

§
§
§
§

1.
2.
3.
4.

Глава V
О символических исчислениях и формализации геометрии
Примеры символических исчислений
.....................................................
Определение символического исчисления
.............................................
Элементарные и неэлементарные теории
.............................................
О формализованной теории множеств и формализованной геометрии
(обзор)
...............................................................................................................

107
121
125
127

Р а з д е л II
ОБОБЩЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Г л а в а VI
- Неевклидовы геометрии
§ 1. Элементы сферической геометрии
..........................................................
§ 2. Эллиптическая геометрия на плоскости
.............................................
§ 3. Геометрия Лобачевского в системе Вейля
..............................................

132
140
146

Г л а в а V II
Дифференцируемые многообразия, группы и алгебры Ли
§ 1. Топологические пространства. Дифференцируемые многообразия
§ 2. Векторное пространство, касательное в точке многообразия . . .
...........................................................................
§ 3. Группы Ли и алгебры Ли

166
170
178

Г л а в а V III
Римановы пространства и пространства аффинной связности
§
§
I
*
§

1.
2.
3.
4.
5.

Геометрические и дифференциально-геометрические объекты
. . .
Определение производной Л и. Примеры
................................
Римановы пространства
..............................................................
Пространства аффинной связности
..........................................................
Обобщения. Пространства путей. Финслеровы пространства . . . .

203
205
208
220
231

Добавление
Расслоенные пространства и инфинитезимальные с в я з н о с т и ....................
..............................................................................................................
Л итература
Предметный указатель
...............................................................

237
254
255

ПРЕДИСЛО ВИЕ

Книга состоит из двух самостоятельных разделов. Первый раздел
(главы I—V) посвящен расширению и углублению вопросов школь­
ного курса геометрии и объединенного курса геометрии I— II педин­
ститутов; здесь рассматривается аксиоматика А. Н. Колмогорова
школьного курса геометрии, аксиоматика Вейля и --">