Иван Петрович Егоров - Геометрия

называемых
неотрицательных величин.
Отметим, что основные понятия при построении теории исполь­
зуются только через посредство аксиом. Поэтому все свойства основ­
ных понятий, необходимые для построения аксиоматической теории,
должны быть перечислены в аксиомах. В этом смысле часто говорят,
что аксиомы неявно определяют основные понятия. Н иж е на кон­
кретных примерах мы убедимся, как с помощью аксиом описыва­
ются свойства основных образов и отношений.
Задача выбора основных понятий и аксиом геометрии является
одной из важных задач оснований геометрии. Эта задача решается
неоднозначно и требует от математика большого внимания и н а­
выка. В сякая аксиоматическая теория строится по следующему
плану:
1. Сначала перечисляются основные понятия — основные обра­
зы и основные отношения.
2. Д алее приводится список аксиом-предложений, в которых
фиксируются некоторые свойства основных понятий, необходимые
для построения теории.
3. Все последующие предложения (теоремы) должны быть полу­
чены из аксиом при помощи лишь одних логических законов.
4. Все понятия, не являющиеся основными, должны быть опре­
делены через основные и понятия, ранее введенные.
Аксиомы при этом должны удовлетворять определенным требо­
ваниям, в первую очередь требованию совместности.
М атематика является одной из самых абстрактных наук. Но ее
понятия отражают свойства реальных вещей и отношений между ни­
ми. Аксиомы не являются продуктом свободного творения матема­
тиков или условными соглашениями. Они выведены из взаимосвя­
зей понятий и в своих предпосылках имеют опытное происхождение.
Усиленное развитие аксиоматического метода было связано с
открытием в прошлом веке неевклидовой геометрии и созданием
теории множеств. Геометрия Лобачевского и теория множеств вы­
звали появление ряда важнейших исследований по общим вопросам
аксиоматики. Они содействовали распространению в математике
метода научного исследования с помощью аксиом.
Если в аксиоматической теории правила вывода явно не пере­
числяются, то она называется содержательной, неформальной ак ­
сиоматической теорией', если ж е система правил вывода явным
образом включается в аксиоматическую теорию, то последняя назы­
вается формальной или дедуктивной аксиоматической теорией. П ри­
мером содержательной аксиоматической теории может служить
теория групп, примером формальной аксиоматической теории —
исчисление высказываний (см. V главу).
Дальнейш ее развитие аксиоматического метода привело мате­
матиков к понятию символического исчисления. Последнее харак­
теризуется заданием на язы ке формул системы аксиом и правил
8

вывода. В теории символических исчислений получен ряд важных
результатов, составляющих новую ступень в развитии аксиомати­
ческого метода исследования.
Прежде чем перейти к математическим структурам, мы остано­
вимся кратко на понятиях отношения, отношения эквивалентности
и факторизации.
§ 1. ОТНОШЕНИЯ. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ФАКТОРИЗАЦИЯ

Отношения выражают связи между предметами (понятиями).
Предположим, что нам дана какая-нибудь связь (соотношение)
р (х, у) между элементами х, у, принадлежащими соответственно
множествам А и В. Множество всех пар (х, у), таких, что элемент
х £ А находится в данной связи (соотношении) со вторым эле­
ментом у £ В, определяет некоторое подмножество (которое обозна­
чим тем же символом р — {(*, у) |р [ х ,у )) в множестве всех пар
(х, у)). Обратно, задание подмножества р в множестве А X В —
декартовом произведении множеств А , В — выражает некоторую
связь (соотношение) между элементами х € А , у € В, для которой р
будет множеством пар истинности (декартовым произведением
А х В множеств Л и В называется множество всех упорядоченных
пар (х, у), таких, что элемент х принадлежит множеству А , а эле­
мент у — множеству В). Таким образом, утверждения «соотноше­
ние р (х, у) выполнено для х, у» и «пара (х, у) является элементом
множества р» равносильны. Изложенное показывает, что бинарное
отношение целесообразно определить следующим образом.
Бинарным отношением р между элементами х, у двух множеств;
А , В (х € А , у € В) называется всякое подмножество декартова
произведгния А X В этих множеств: р с . А X В.
Отношение р иногда обозначается так: р (х, у), где х (; А , у € В.
Особо --">